Se \sin z=x+y, encontrar \partial z / \partial x, por duas formas:
(a) Tome a derivada implícita (19), respeito de x, de \sin z=x+y. Verifique que a derivada explícita e implícita são iguais.
(b) Escreva z=\sin ^{-1}(x+y) e calcule sua derivada (explícita).

Passo 1

O enunciado dá a relação
\sin z = x + y
e pede para encontrar a derivada parcial \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} de duas maneiras:
(a) usando diferenciação implícita em relação a x (preservando y como constante) e verificar que esse resultado coincide com a derivada obtida explicitamente;
(b) escrevendo z=\sin^{-1}(x+y) e calculando a derivada explícita (usando regra da cadeia).
Informações relevantes que temos: z é uma função de x e y, quando tomamos \partial/\partial x mantemos y constante, e para escrever z=\sin^{-1}(x+y) é necessário que x+y\in[-1,1] (domínio da função arco-seno).

Passo 2

Diferenciação implícita: ideia e aplicação da regra da cadeia.
Explicação curta da regra da cadeia (para partials): se temos uma função composta f(z(x,y)), então ao derivar em relação a x (com y fixo) a derivada é f'(z)\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x}. Aqui f(u)=\sin u então f'(u)=\cos u. Aplicando isso à equação dada, ao derivar ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin z\big)=\frac{\partial}{\partial x}(x+y).
Pela regra da cadeia, o lado esquerdo vira \cos z\cdot \dfrac{\partial z}{\partial x}. O lado direito, como y é constante, tem derivada 1. Portanto escrevemos:
\cos z\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=1.

Passo 3

Isolando \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} da expressão obtida:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\cos z}.
Comentário importante: esta fórmula é válida sempre que \cos z\neq 0. Se \cos z=0 então a derivada não existe (ou tende a infinito), pois o denominador se anula.

Passo 4

Expressando a derivada implícita em termos de x e y. Usamos a identidade pitagórica
\sin^2 z + \cos^2 z = 1.
Como \sin z = x+y (dado), substituímos e obtemos
\cos^2 z = 1 - (x+y)^2,
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\cos z = \pm\sqrt{\,1-(x+y)^2\,}.
Portanto, a expressão implícita para a derivada pode ser escrita como
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\cos z}=\pm\frac{1}{\sqrt{\,1-(x+y)^2\,}},
onde o sinal + ou - depende do sinal de \cos z (ou seja, da escolha do ramo da função inversa seno).

Passo 5

Derivada explícita: comece escrevendo z como função explícita
z=\sin^{-1}(x+y).
Explicação da derivada de \sin^{-1}: se w=\sin^{-1} t, então \sin w=t. Derivando ambos os lados em relação a t (implicando regra da cadeia inversa), obtemos \cos w\cdot \dfrac{dw}{dt}=1, isto é \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{1}{\cos w}. Usando \cos w=\sqrt{1-\sin^2 w}=\sqrt{1-t^2} (escolhendo o ramo com \cos w\ge 0, que corresponde ao arco-seno principal), obtemos a fórmula clássica
\frac{d}{dt}\sin^{-1}t=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}.
Agora aplicamos regra da cadeia para t=x+y: como \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1, temos
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{\,1-(x+y)^2\,}}.

Passo 6

Comparação dos resultados implícito e explícito.
Do método implícito obtivemos \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{\cos z}, que ao usar \sin z=x+y \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}.
Do método explícito (usando z=\sin^{-1}(x+y) no ramo principal) obtivemos \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}.
Portanto os dois resultados coincidem quando tomamos o ramo do arco-seno principal (onde \cos z\ge 0), isto é para z=\sin^{-1}(x+y). Se estivermos em um ramo onde \cos z<0 a expressão implícita traz o sinal negativo e então os resultados diferem por sinal — isso é apenas reflexo do fato de que a inversa \sin^{-1} escolhe um ramo específico.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\cos z}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}.\n(b) \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}} (para o ramo principal de \sin^{-1}, com x+y\in(-1,1)).

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