Se
, encontrar
, por duas formas:
(a) Tome a derivada implícita (19), respeito de
, de
. Verifique que a derivada explícita e implícita são iguais.
(b) Escreva
e calcule sua derivada (explícita).
(a) Tome a derivada implícita (19), respeito de
(b) Escreva
Passo 1
O enunciado dá a relação
e pede para encontrar a derivada parcial
de duas maneiras:
(a) usando diferenciação implícita em relação a (preservando
como constante) e verificar que esse resultado coincide com a derivada obtida explicitamente;
(b) escrevendo e calculando a derivada explícita (usando regra da cadeia).
Informações relevantes que temos: é uma função de
e
, quando tomamos
mantemos
constante, e para escrever
é necessário que
(domínio da função arco-seno).
(a) usando diferenciação implícita em relação a
(b) escrevendo
Informações relevantes que temos:
Passo 2
Diferenciação implícita: ideia e aplicação da regra da cadeia.
Explicação curta da regra da cadeia (para partials): se temos uma função composta , então ao derivar em relação a
(com
fixo) a derivada é
. Aqui
então
. Aplicando isso à equação dada, ao derivar ambos os lados em relação a
obtemos
Explicação curta da regra da cadeia (para partials): se temos uma função composta
Pela regra da cadeia, o lado esquerdo vira
. O lado direito, como
é constante, tem derivada
. Portanto escrevemos:
Passo 3
Isolando
da expressão obtida:
Comentário importante: esta fórmula é válida sempre que
. Se
então a derivada não existe (ou tende a infinito), pois o denominador se anula.
Passo 4
Expressando a derivada implícita em termos de
e
. Usamos a identidade pitagórica
Como
(dado), substituímos e obtemos
logo
Portanto, a expressão implícita para a derivada pode ser escrita como
onde o sinal
ou
depende do sinal de
(ou seja, da escolha do ramo da função inversa seno).
Passo 5
Derivada explícita: comece escrevendo
como função explícita
Explicação da derivada de
: se
, então
. Derivando ambos os lados em relação a
(implicando regra da cadeia inversa), obtemos
, isto é
. Usando
(escolhendo o ramo com
, que corresponde ao arco-seno principal), obtemos a fórmula clássica
Agora aplicamos regra da cadeia para
: como
, temos
Passo 6
Comparação dos resultados implícito e explícito.
Do método implícito obtivemos , que ao usar
dá
.
Do método explícito (usando no ramo principal) obtivemos
.
Portanto os dois resultados coincidem quando tomamos o ramo do arco-seno principal (onde ), isto é para
. Se estivermos em um ramo onde
a expressão implícita traz o sinal negativo e então os resultados diferem por sinal — isso é apenas reflexo do fato de que a inversa
escolhe um ramo específico.
Do método implícito obtivemos
Do método explícito (usando
Portanto os dois resultados coincidem quando tomamos o ramo do arco-seno principal (onde
Resposta
(a)
.\n(b)
(para o ramo principal de
, com
).