Suponha que x_{t}=t e y_{t}=t^{2}. Para f=(x+y)^{3} encontrar \frac{d f}{d t} e então \frac{d^{2} f}{d t^{2}}. Use regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado dá as funções dependentes do tempo:
x_{t}=t
y_{t}=t^{2}
e define a função
f=(x+y)^{3}.
Pede-se calcular a primeira e a segunda derivadas de f em relação a t, isto é \dfrac{d f}{d t} e \dfrac{d^{2} f}{d t^{2}}.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se f=f(x,y) com x=x(t) e y=y(t), então a derivada total de f em relação a t é dada por
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x muda (segurando y fixo). Multiplicamos por \dfrac{dx}{dt} porque x depende de t. Mesma lógica para o termo com y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f. Como f=(x+y)^{3} vemos que f é composição de potência com a soma x+y. Aplicando a regra da cadeia (agora para derivada parcial),
\frac{\partial f}{\partial x}=3(x+y)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=3(x+y)^{2}\cdot 1=3(x+y)^{2}.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}=3(x+y)^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=3(x+y)^{2}\cdot 1=3(x+y)^{2}.
Ou seja, as duas parciais são iguais porque x e y aparecem simetricamente em x+y.

Passo 4

Agora derivamos x_{t} e y_{t} em relação a t. São simples:
\frac{d x}{d t}=1
\frac{d y}{d t}=2t.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{d f}{d t}=3(x+y)^{2}\cdot 1+3(x+y)^{2}\cdot 2t.
Fatorando 3(x+y)^{2} obtemos
\frac{d f}{d t}=3(x+y)^{2}\bigl(1+2t\bigr).
Agora substituímos x e y em função de t usando x=t e y=t^{2}. Temos x+y=t+t^{2}. Logo
\frac{d f}{d t}=3\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}\bigl(1+2t\bigr).
Podemos também escrever de forma fatorada
\frac{d f}{d t}=3t^{2}(1+t)^{2}(1+2t).
Qualquer uma dessas formas está correta; a última vem de \bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}=t^{2}(1+t)^{2}.

Passo 6

Para obter a segunda derivada vamos derivar \dfrac{d f}{d t} em relação a t. Vou usar a forma
\frac{d f}{d t}=3\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}\bigl(1+2t\bigr)
e aplicar a regra do produto. A regra do produto diz: se u(t)v(t) então
\frac{d}{dt}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv'.

Passo 7

Definimos
u(t)=3\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}
v(t)=1+2t.
Calculamos u'(t) usando cadeia: primeiro w(t)=\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2} tem derivada
w'(t)=2\bigl(t+t^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t+t^{2}\bigr)=2\bigl(t+t^{2}\bigr)\bigl(1+2t\bigr).
Multiplicando pelo 3 de u(t) obtemos
u'(t)=3\cdot w'(t)=6\bigl(t+t^{2}\bigr)\bigl(1+2t\bigr).
E
v'(t)=2.

Passo 8

Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=u'v+uv'.
Substituindo os termos:
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=6\bigl(t+t^{2}\bigr)\bigl(1+2t\bigr)\bigl(1+2t\bigr)+3\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}\cdot 2.
Escrevendo de forma mais simples:
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=6\bigl(t+t^{2}\bigr)\bigl(1+2t\bigr)^{2}+6\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}.
Fatorando 6\bigl(t+t^{2}\bigr) temos
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=6\bigl(t+t^{2}\bigr)\Bigl(\bigl(1+2t\bigr)^{2}+\bigl(t+t^{2}\bigr)\Bigr).
Calculando \bigl(1+2t\bigr)^{2}=1+4t+4t^{2} e somando \bigl(t+t^{2}\bigr) obtemos 1+5t+5t^{2}. Portanto
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=6\bigl(t+t^{2}\bigr)\bigl(1+5t+5t^{2}\bigr).
Também podemos escrever usando fator comum t(1+t):
\frac{d^{2} f}{d t^{2}}=6t(1+t)\bigl(1+5t+5t^{2}\bigr).

Resposta

\dfrac{d f}{d t}=3\bigl(t+t^{2}\bigr)^{2}\bigl(1+2t\bigr)
\dfrac{d^{2} f}{d t^{2}}=6\bigl(t+t^{2}\bigr)\bigl(1+5t+5t^{2}\bigr)

Exercícios relacionados