Suponha que
e
. Para
encontrar
e então
. Use regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá as funções dependentes do tempo:
e define a função
Pede-se calcular a primeira e a segunda derivadas de
em relação a
, isto é
e
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
com
e
, então a derivada total de
em relação a
é dada por
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
quando só
muda (segurando
fixo). Multiplicamos por
porque
depende de
. Mesma lógica para o termo com
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
vemos que
é composição de potência com a soma
. Aplicando a regra da cadeia (agora para derivada parcial),
Analogamente,
Ou seja, as duas parciais são iguais porque
e
aparecem simetricamente em
.
Passo 4
Agora derivamos
e
em relação a
. São simples:
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Fatorando
obtemos
Agora substituímos
e
em função de
usando
e
. Temos
. Logo
Podemos também escrever de forma fatorada
Qualquer uma dessas formas está correta; a última vem de
.
Passo 6
Para obter a segunda derivada vamos derivar
em relação a
. Vou usar a forma
e aplicar a regra do produto. A regra do produto diz: se
então
Passo 7
Definimos
Calculamos
usando cadeia: primeiro
tem derivada
Multiplicando pelo
de
obtemos
E
Passo 8
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo os termos:
Escrevendo de forma mais simples:
Fatorando
temos
Calculando
e somando
obtemos
. Portanto
Também podemos escrever usando fator comum
: