1. Considere um sinal de FM cuja portadora possui uma amplitude de 10 V , sem modulação, onde o desvio de frequência é de 5 kHz e a frequência do sinal modulante é de 2,5 \mathrm{kHz}. Para um sinal modulante de 50 mV , calcule a constante do circuito modulador \mathrm{K}_{\mathrm{c}}, o indice de modulação \beta, o nümero máximo de pares de bandas laterais n, a largura de banda BW e a amplitude da portadora modulada e das bandas laterais.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que pede, direitinho (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Amplitude da portadora sem modulação: A_c = 10\\ \mathrm{V}.
  • Desvio de frequência (desvio máximo): \Delta f = 5\\ \mathrm{kHz} = 5000\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência do sinal modulante: f_m = 2{,}5\\ \mathrm{kHz} = 2500\\ \mathrm{Hz}.
  • Amplitude do sinal modulante (tensão do modulador): A_m = 50\\ \mathrm{mV} = 0{,}05\\ \mathrm{V}.
O enunciado pede:
  1. A constante do circuito modulador K_c (sensibilidade em Hz por volt).
  2. O índice de modulação \beta.
  3. O número máximo de pares de bandas laterais n (pares significativos).
  4. A largura de banda BW (provavelmente usando a regra de Carson).
  5. A amplitude da portadora modulada e das bandas laterais (ou seja, as amplitudes dos componentes espectrais resultantes da FM).

Passo 2

Como se relacionam \Delta f, K_c e A_m. Aqui precisamos lembrar a definição de desvio para modulação em frequência com um modulador linear em amplitude de modulação:
  • A constante do modulador K_c (também chamada sensibilidade em Hz/V) relaciona a tensão de modulação com o desvio de frequência máximo por:
\Delta f = K_c \cdot A_m.
Explicando: \Delta f é a máxima variação (desvio) da frequência da portadora quando o sinal modulante atinge sua amplitude máxima A_m. Portanto, para achar K_c isolamos:
K_c = \frac{\Delta f}{A_m}.

Passo 3

Cálculo numérico de K_c. Substituindo os números que pegamos:
K_c = \frac{5000\\ \mathrm{Hz}}{0{,}05\\ \mathrm{V}} = 100000\\ \mathrm{Hz/V}.
Em notação científica:
K_c = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Hz/V}.
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que cada volt de variação no sinal modulante deslocaria a portadora em 100{,}000\\ \mathrm{Hz}. Com 0{,}05\\ \mathrm{V} chega-se aos 5\\ \mathrm{kHz} dados.

Passo 4

Definição do índice de modulação \beta e cálculo. O índice de modulação para FM é definido por:
\beta = \frac{\Delta f}{f_m},
onde \Delta f é o desvio máximo e f_m é a frequência do tom modulante. Explicando: \beta é uma medida adimensional que diz o quanto a frequência da portadora é desviada comparado à velocidade (frequência) do modulante; valores pequenos indicam FM estreita, valores grandes indicam FM larga.
Calculemos:
\beta = \frac{5000}{2500} = 2.
Portanto \beta = 2 (exatamente). Boa notícia: índice redondinho facilita o uso das funções de Bessel mais à frente.

Passo 5

Número máximo de pares de bandas laterais n. Ideia e regra prática:
  • A FM com sinal senoidal produz uma série infinita de harmônicos da portadora deslocados em múltiplos de f_m. As amplitudes desses componentes são proporcionais a J_n(\beta), as funções de Bessel de primeira espécie.
  • Na prática, apenas um número finito de pares de bandas laterais tem amplitude significativa. Uma regra prática (e relacionada à regra de Carson) é tomar o número de pares significativos como aproximadamente
n \approx \beta + 1.
Isto significa incluir as ordens 1,2,\dots,n (cada ordem tem duas bandas: superior e inferior).
Com \beta=2 temos:
n \approx 2 + 1 = 3.
Interpretação: devemos considerar até a terceira ordem de bandas laterais ( \pm f_m, \pm 2f_m, \pm 3f_m) como significativas.
Observação: essa é uma aproximação prática; se for preciso mais rigor pode-se olhar os valores de J_n(\beta) e decidir até que ordem os termos são desprezíveis.

Passo 6

Largura de banda BW (regra de Carson). A regra de Carson dá uma estimativa prática da largura de banda ocupada pela FM:
BW \approx 2(\Delta f + f_m) = 2 f_m (\beta + 1).
Explicando: a largura total considera o alcance do desvio mais o termo fundamental do modulante; é uma aproximação que engloba a maior parte da potência.
Calculemos com os números:
BW \approx 2(5000 + 2500)\\ \mathrm{Hz} = 2\cdot 7500\\ \mathrm{Hz} = 15000\\ \mathrm{Hz} = 15\\ \mathrm{kHz}.
Ou, usando \beta:
BW = 2\cdot 2500\cdot(2+1) = 15000\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Amplitude da portadora e das bandas laterais: introdução às funções de Bessel. Teoria curta e prática:
  • Para FM com modulante senoidal de amplitude A_m e índice \beta, o sinal pode ser expandido em termos de Bessel:
    • A amplitude da portadora (componente central, frequência da portadora) passa a ser A_c\cdot J_0(\beta).
    • As amplitudes das bandas laterais de ordem n (cada componente em f_c \pm n f_m) são A_c\cdot J_n(\beta).
  • Aqui J_n é a função de Bessel de primeira espécie de ordem n. Explicando sem jargão: os valores de J_n(\beta) determinam quanto da amplitude original da portadora vai aparecer em cada componente do espectro.
Portanto, precisamos dos valores J_0(2), J_1(2), J_2(2), J_3(2) (até n=3) e multiplicá-los por A_c=10\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Valores numéricos das funções de Bessel para \beta=2 (valores tabelados/convencionais). Usamos valores padrão de Bessel (tabelas ou calculadora científica). Os valores relevantes (aproximações) são:
J_0(2) \approx 0{,}2238907791, \qquad J_1(2) \approx 0{,}5767248078,
J_2(2) \approx 0{,}3528340281, \qquad J_3(2) \approx 0{,}1289432490.
(Valores arredondados mostrados com precisão suficiente para a prova.)
Agora multiplicamos por A_c = 10\\ \mathrm{V} para obter as amplitudes reais em volts:
  • Amplitude da portadora modulada:
A_{c,\text{mod}} = A_c\cdot J_0(2) = 10\cdot 0{,}2238907791 \approx 2{,}2389\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude de cada banda lateral de ordem 1 (componentes em f_c\pm f_m):
A_{1} = A_c\cdot J_1(2) = 10\cdot 0{,}5767248078 \approx 5{,}7672\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude de cada banda lateral de ordem 2 (componentes em f_c\pm 2f_m):
A_{2} = A_c\cdot J_2(2) = 10\cdot 0{,}3528340281 \approx 3{,}5283\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude de cada banda lateral de ordem 3 (componentes em f_c\pm 3f_m):
A_{3} = A_c\cdot J_3(2) = 10\cdot 0{,}1289432490 \approx 1{,}2894\\ \mathrm{V}.
Observações práticas:
  • Cada uma das amplitudes A_n aparece em duas bandas (uma acima e uma abaixo da portadora), ou seja, há pares com a mesma amplitude.
  • Apesar de a soma das potências se manter, a amplitude da portadora pode ficar bem menor do que as primeiras bandas — isso é comum em FM com \beta da ordem de 1–5.
  • Se se desejar, podem-se avaliar ordens mais altas (por exemplo J_4(2)\approx0{,}0349 etc.), mas pela regra do passo 5 paramos em n=3.

Passo 9

Resumo interpretativo (como usar na prova):
  • Para obter K_c isole na relação \Delta f = K_c A_m.
  • Para \beta use \beta=\Delta f/f_m.
  • Para largura de banda use a regra de Carson \;BW\approx2(\Delta f+f_m).
  • Para amplitudes no espectro de FM com modulante senoidal, use A_c J_n(\beta) (onde n=0 é a portadora).
  • Para decidir quantas bandas considerar, regra prática n\approx\beta+1 (ou olhar os J_n e truncar quando ficarem pequenos).

Resposta

K_c = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Hz/V}
\beta = 2
n \approx 3 pares de bandas laterais significativas
BW \approx 15\\ \mathrm{kHz}
Amplitude da portadora modulada: A_{c,\text{mod}} \approx 2{,}2389\\ \mathrm{V}
Amplitude de cada banda lateral de 1ª ordem: A_{1} \approx 5{,}7672\\ \mathrm{V}
Amplitude de cada banda lateral de 2ª ordem: A_{2} \approx 3{,}5283\\ \mathrm{V}
Amplitude de cada banda lateral de 3ª ordem: A_{3} \approx 1{,}2894\\ \mathrm{V}

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