- Considere um sinal de FM cuja portadora possui uma amplitude de 10 V , sem modulação, onde o desvio de frequência é de 5 kHz e a frequência do sinal modulante é de
. Para um sinal modulante de 50 mV , calcule a constante do circuito modulador
, o indice de modulação
, o nümero máximo de pares de bandas laterais n, a largura de banda BW e a amplitude da portadora modulada e das bandas laterais.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que pede, direitinho (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
- Amplitude da portadora sem modulação:
. - Desvio de frequência (desvio máximo):
. - Frequência do sinal modulante:
. - Amplitude do sinal modulante (tensão do modulador):
.
O enunciado pede:
- A constante do circuito modulador
(sensibilidade em Hz por volt). - O índice de modulação
. - O número máximo de pares de bandas laterais
(pares significativos). - A largura de banda
(provavelmente usando a regra de Carson). - A amplitude da portadora modulada e das bandas laterais (ou seja, as amplitudes dos componentes espectrais resultantes da FM).
Passo 2
Como se relacionam
,
e
. Aqui precisamos lembrar a definição de desvio para modulação em frequência com um modulador linear em amplitude de modulação:
- A constante do modulador
(também chamada sensibilidade em Hz/V) relaciona a tensão de modulação com o desvio de frequência máximo por:
Explicando:
é a máxima variação (desvio) da frequência da portadora quando o sinal modulante atinge sua amplitude máxima
. Portanto, para achar
isolamos:
Passo 3
Cálculo numérico de
. Substituindo os números que pegamos:
Em notação científica:
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que cada volt de variação no sinal modulante deslocaria a portadora em
. Com
chega-se aos
dados.
Passo 4
Definição do índice de modulação
e cálculo. O índice de modulação para FM é definido por:
onde
é o desvio máximo e
é a frequência do tom modulante. Explicando:
é uma medida adimensional que diz o quanto a frequência da portadora é desviada comparado à velocidade (frequência) do modulante; valores pequenos indicam FM estreita, valores grandes indicam FM larga.
Calculemos:
Portanto
(exatamente). Boa notícia: índice redondinho facilita o uso das funções de Bessel mais à frente.
Passo 5
Número máximo de pares de bandas laterais
. Ideia e regra prática:
- A FM com sinal senoidal produz uma série infinita de harmônicos da portadora deslocados em múltiplos de
. As amplitudes desses componentes são proporcionais a , as funções de Bessel de primeira espécie. - Na prática, apenas um número finito de pares de bandas laterais tem amplitude significativa. Uma regra prática (e relacionada à regra de Carson) é tomar o número de pares significativos como aproximadamente
Isto significa incluir as ordens
(cada ordem tem duas bandas: superior e inferior).
Com
temos:
Interpretação: devemos considerar até a terceira ordem de bandas laterais (
) como significativas.
Observação: essa é uma aproximação prática; se for preciso mais rigor pode-se olhar os valores de
e decidir até que ordem os termos são desprezíveis.
Passo 6
Largura de banda
(regra de Carson). A regra de Carson dá uma estimativa prática da largura de banda ocupada pela FM:
Explicando: a largura total considera o alcance do desvio mais o termo fundamental do modulante; é uma aproximação que engloba a maior parte da potência.
Calculemos com os números:
Ou, usando
:
Passo 7
Amplitude da portadora e das bandas laterais: introdução às funções de Bessel. Teoria curta e prática:
- Para FM com modulante senoidal de amplitude
e índice , o sinal pode ser expandido em termos de Bessel: - A amplitude da portadora (componente central, frequência da portadora) passa a ser
. - As amplitudes das bandas laterais de ordem
(cada componente em ) são .
- A amplitude da portadora (componente central, frequência da portadora) passa a ser
- Aqui
é a função de Bessel de primeira espécie de ordem . Explicando sem jargão: os valores de determinam quanto da amplitude original da portadora vai aparecer em cada componente do espectro.
Portanto, precisamos dos valores
(até
) e multiplicá-los por
.
Passo 8
Valores numéricos das funções de Bessel para
(valores tabelados/convencionais). Usamos valores padrão de Bessel (tabelas ou calculadora científica). Os valores relevantes (aproximações) são:
(Valores arredondados mostrados com precisão suficiente para a prova.)
Agora multiplicamos por
para obter as amplitudes reais em volts:
- Amplitude da portadora modulada:
- Amplitude de cada banda lateral de ordem 1 (componentes em
):
- Amplitude de cada banda lateral de ordem 2 (componentes em
):
- Amplitude de cada banda lateral de ordem 3 (componentes em
):
Observações práticas:
- Cada uma das amplitudes
aparece em duas bandas (uma acima e uma abaixo da portadora), ou seja, há pares com a mesma amplitude. - Apesar de a soma das potências se manter, a amplitude da portadora pode ficar bem menor do que as primeiras bandas — isso é comum em FM com
da ordem de 1–5. - Se se desejar, podem-se avaliar ordens mais altas (por exemplo
etc.), mas pela regra do passo 5 paramos em .
Passo 9
Resumo interpretativo (como usar na prova):
- Para obter
isole na relação . - Para
use . - Para largura de banda use a regra de Carson
. - Para amplitudes no espectro de FM com modulante senoidal, use
(onde é a portadora). - Para decidir quantas bandas considerar, regra prática
(ou olhar os e truncar quando ficarem pequenos).
Resposta
Amplitude da portadora modulada:
Amplitude de cada banda lateral de 1ª ordem:
Amplitude de cada banda lateral de 2ª ordem:
Amplitude de cada banda lateral de 3ª ordem: