Um sinal x(t) possui transformada de Fourier X(\omega). Determine a transformada de Fourier Y(\omega) em termos de X(\omega) para cada um dos sinais apresentados a seguir:
y(t)=e^{j 2 t} x^{*}(-3 t-6)

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função original x(t) tem transformada de Fourier X(\omega).
  • O sinal a analisar é y(t)=e^{j 2 t}\,x^{*}(-3 t-6).
O que se pede:
  • Determinar a transformada de Fourier Y(\omega) do sinal y(t) em termos de X(\omega).

Passo 2

Primeiro vamos decompor y(t) em operações conhecidas sobre x(t) e aplicar as propriedades da transformada de Fourier passo a passo. As operações na ordem que aparecem em y(t) são:
  1. tempo-escalamento e reflexão em x(t) por -3 (isto é, formar x(-3t)),
  2. deslocamento em tempo por -6 (ou seja, formar x(-3t-6)=x(-3(t+2))),
  3. conjugação complexa do resultado,
  4. multiplicação por e^{j2t} (modulação).
Vou tratar cada operação usando a propriedade correspondente da transformada de Fourier.

Passo 3

Propriedade de escala no tempo (explicação e aplicação).
  • Fórmula: para a\neq0,
\mathcal{F}\{x(a t)\}=\frac{1}{|a|}\,X\!\left(\frac{\omega}{a}\right).
Aqui \mathcal{F}\{\cdot\} denota a transformada de Fourier, a é o fator de escala no tempo, X(\omega) é a FT de x(t), e o fator 1/|a| garante conservação de energia (normalização do eixo da frequência).
  • Aplicando com a=-3 (reflexão + compressão):
\mathcal{F}\{x(-3t)\}=\frac{1}{3}\,X\!\left(\frac{\omega}{-3}\right)=\frac{1}{3}\,X\!\left(-\frac{\omega}{3}\right).

Passo 4

Propriedade de deslocamento no tempo (explicação e aplicação).
  • Fórmula: para deslocamento t_0,
\mathcal{F}\{f(t-t_0)\}=e^{-j\omega t_0}F(\omega),
onde F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}.
  • No nosso caso temos x(-3t-6)=x(-3(t+2)). Isso é equivalente a tomar m(t)=x(-3t) (já tratado no Passo 3) e formar m(t+2)=m(t-(-2)). Logo aqui t_0=-2.
  • Aplicando a fórmula com M(\omega)=\frac{1}{3}X\!\left(-\frac{\omega}{3}\right):
\mathcal{F}\{x(-3t-6)\}=e^{-j\omega(-2)}M(\omega)=e^{j2\omega}\cdot\frac{1}{3}\,X\!\left(-\frac{\omega}{3}\right).
Portanto
\mathcal{F}\{x(-3t-6)\}=\frac{1}{3}\,e^{j2\omega}\,X\!\left(-\frac{\omega}{3}\right).

Passo 5

Propriedade de conjugação complexa (explicação e aplicação).
  • Fórmula: se f(t)\leftrightarrow F(\omega) então
f^{*}(t)\leftrightarrow F^{*}(-\omega).
Isto significa que a conjugação no tempo corresponde à conjugação no domínio da frequência mais uma reflexão em \omega.
  • Aplique esta propriedade à transformada obtida no Passo 4. Se chamarmos
G(\omega)=\frac{1}{3}\,e^{j2\omega}\,X\!\left(-\frac{\omega}{3}\right)
como a transformada de g(t)=x(-3t-6), então a transformada de g^{*}(t)=x^{*}(-3t-6) é
\mathcal{F}\{x^{*}(-3t-6)\}=G^{*}(-\omega).
Agora calcule G^{*}(-\omega). Primeiro
G(-\omega)=\frac{1}{3}\,e^{j2(-\omega)}\,X\!\left(-\frac{-\omega}{3}\right) =\frac{1}{3}\,e^{-j2\omega}\,X\!\left(\frac{\omega}{3}\right).
Tomando conjugado:
G^{*}(-\omega)=\left(\frac{1}{3}\,e^{-j2\omega}\,X\!\left(\frac{\omega}{3}\right)\right)^{*} =\frac{1}{3}\,e^{j2\omega}\,X^{*}\!\left(\frac{\omega}{3}\right),
pois \frac{1}{3} é real.
Assim
\mathcal{F}\{x^{*}(-3t-6)\}=\frac{1}{3}\,e^{j2\omega}\,X^{*}\!\left(\frac{\omega}{3}\right).

Passo 6

Propriedade de modulação (multiplicação por exponencial) e conclusão.
  • Fórmula: para deslocamento em frequência por \omega_0,
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t}f(t)\}=F(\omega-\omega_0),
ou seja, multiplicar por e^{j\omega_0 t} desloca o espectro de F(\omega) para a direita em \omega_0.
  • No nosso problema multiplicamos por e^{j2t}, então \omega_0=2. Se chamarmos
H(\omega)=\mathcal{F}\{x^{*}(-3t-6)\}=\frac{1}{3}\,e^{j2\omega}\,X^{*}\!\left(\frac{\omega}{3}\right),
então a transformada final é
Y(\omega)=H(\omega-2)=\frac{1}{3}\,e^{j2(\omega-2)}\,X^{*}\!\left(\frac{\omega-2}{3}\right).
Podemos também escrever e^{j2(\omega-2)}=e^{j2\omega}e^{-j4}, se for útil.

Resposta

Y(\omega)=\frac{1}{3}\,e^{j2(\omega-2)}\,X^{*}\!\left(\frac{\omega-2}{3}\right)

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