Um sinal
possui transformada de Fourier
. Determine a transformada de Fourier
em termos de
para cada um dos sinais apresentados a seguir:
Passo 1
O enunciado dá:
- A função original
tem transformada de Fourier . - O sinal a analisar é
.
O que se pede:
- Determinar a transformada de Fourier
do sinal em termos de .
Passo 2
Primeiro vamos decompor
em operações conhecidas sobre
e aplicar as propriedades da transformada de Fourier passo a passo. As operações na ordem que aparecem em
são:
- tempo-escalamento e reflexão em
por (isto é, formar ), - deslocamento em tempo por
(ou seja, formar ), - conjugação complexa do resultado,
- multiplicação por
(modulação).
Vou tratar cada operação usando a propriedade correspondente da transformada de Fourier.
Passo 3
Propriedade de escala no tempo (explicação e aplicação).
- Fórmula: para
,
Aqui
denota a transformada de Fourier,
é o fator de escala no tempo,
é a FT de
, e o fator
garante conservação de energia (normalização do eixo da frequência).
- Aplicando com
(reflexão + compressão):
Passo 4
Propriedade de deslocamento no tempo (explicação e aplicação).
- Fórmula: para deslocamento
,
onde
.
- No nosso caso temos
. Isso é equivalente a tomar (já tratado no Passo 3) e formar . Logo aqui . - Aplicando a fórmula com
:
Portanto
Passo 5
Propriedade de conjugação complexa (explicação e aplicação).
- Fórmula: se
então
Isto significa que a conjugação no tempo corresponde à conjugação no domínio da frequência mais uma reflexão em
.
- Aplique esta propriedade à transformada obtida no Passo 4. Se chamarmos
como a transformada de
, então a transformada de
é
Agora calcule
. Primeiro
Tomando conjugado:
pois
é real.
Assim
Passo 6
Propriedade de modulação (multiplicação por exponencial) e conclusão.
- Fórmula: para deslocamento em frequência por
,
ou seja, multiplicar por
desloca o espectro de
para a direita em
.
- No nosso problema multiplicamos por
, então . Se chamarmos
então a transformada final é
Podemos também escrever
, se for útil.