Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
\frac{d y(t)}{d t}+t y(t)=u(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema dinâmico
\frac{d y(t)}{d t} + t\,y(t) \;=\; u(t)
e pede para classificá-lo em termos de linearidade, invariância a deslocamento no tempo, causalidade, memória e estabilidade BIBO. Vamos usar as definições básicas de teoria de sinais e sistemas para cada característica.

Passo 2

Verificação de linearidade
Um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição (adição e homogeneidade). Aqui a equação é
\mathcal L\{y\} \;=\;\frac{d y}{d t} + t\,y,
que é soma de operadores lineares em y (derivada e multiplicação por t). Logo, para quaisquer sinais y_1,y_2 e escalares a,b,
\mathcal L\{a y_1 + b y_2\} = \frac{d}{dt}(a y_1 + b y_2) + t\,(a y_1 + b y_2) = a\,\mathcal L\{y_1\} + b\,\mathcal L\{y_2\}.
Portanto, o sistema é linear.

Passo 3

Verificação de invariância a deslocamento no tempo
Um sistema é invariante em relação ao tempo se, ao atrasar a entrada em t_0, a saída também se atrasa em t_0. Se definirmos u_1(t)=u(t-t_0) e fizermos y_1(t) satisfazendo
\frac{d y_1}{dt} + t\,y_1 = u_1(t),
não teremos em geral y_1(t)=y(t-t_0), pois o coeficiente t muda de paraâmetro absoluto. Logo, o sistema é variável no tempo.

Passo 4

Verificação de causalidade
Um sistema é causal se y(t) depende apenas de u(\tau) para \tau\le t. Aqui a equação diferencial de primeira ordem usa somente y(t), dy/dt em t e u(t). Assim, não há dependência futura de u. O sistema é causal.

Passo 5

Verificação de memória
Um sistema é com memória (dinâmico) se a saída em t depende de valores passados da entrada. A presença de \frac{d y}{dt} e do termo acumulado t\,y(t) implica que y(t) incorpora histórico de u(\tau) para \tau<t. Logo, o sistema é com memória (dinâmico), não é memória-zero.

Passo 6

Verificação de estabilidade BIBO
A solução geral para condições iniciais nulas pode ser escrita como
y(t) =\int_{-\infty}^{t} e^{-\frac{t^2-\tau^2}{2}}\;u(\tau)\,d\tau.
Supondo \lVert u\rVert_\infty \le M<\infty,
|y(t)| \le M \int_{-\infty}^{t} e^{-\frac{t^2-\tau^2}{2}}\,d\tau = M\,e^{-\frac{t^2}{2}} \int_{-\infty}^{t} e^{\frac{\tau^2}{2}}\,d\tau.
Mas \displaystyle\int_{-\infty}^{t} e^{\tau^2/2}d\tau diverge, de modo que \sup_{t}|y(t)| pode crescer sem limite mesmo para u limitado. Assim, o sistema é instável no sentido BIBO.

Resposta

O sistema
\frac{d y(t)}{d t} + t\,y(t) = u(t)
é
linear,
variável no tempo,
causal,
dinâmico (com memória)
e instável (não BIBO estável).

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