Classifique os seguintes sistema. Justifique as respostas.
Passo 1
O enunciado dá o sistema dinâmico
e pede para classificá-lo em termos de linearidade, invariância a deslocamento no tempo, causalidade, memória e estabilidade BIBO. Vamos usar as definições básicas de teoria de sinais e sistemas para cada característica.
Passo 2
Verificação de linearidade
Um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição (adição e homogeneidade). Aqui a equação é
Um sistema é linear se satisfaz o princípio da superposição (adição e homogeneidade). Aqui a equação é
que é soma de operadores lineares em
(derivada e multiplicação por
). Logo, para quaisquer sinais
e escalares
,
Portanto, o sistema é linear.
Passo 3
Verificação de invariância a deslocamento no tempo
Um sistema é invariante em relação ao tempo se, ao atrasar a entrada em , a saída também se atrasa em
. Se definirmos
e fizermos
satisfazendo
Um sistema é invariante em relação ao tempo se, ao atrasar a entrada em
não teremos em geral
, pois o coeficiente
muda de paraâmetro absoluto. Logo, o sistema é variável no tempo.
Passo 4
Verificação de causalidade
Um sistema é causal se depende apenas de
para
. Aqui a equação diferencial de primeira ordem usa somente
,
em
e
. Assim, não há dependência futura de
. O sistema é causal.
Um sistema é causal se
Passo 5
Verificação de memória
Um sistema é com memória (dinâmico) se a saída em depende de valores passados da entrada. A presença de
e do termo acumulado
implica que
incorpora histórico de
para
. Logo, o sistema é com memória (dinâmico), não é memória-zero.
Um sistema é com memória (dinâmico) se a saída em
Passo 6
Verificação de estabilidade BIBO
A solução geral para condições iniciais nulas pode ser escrita como
A solução geral para condições iniciais nulas pode ser escrita como
Supondo
,
Mas
diverge, de modo que
pode crescer sem limite mesmo para
limitado. Assim, o sistema é instável no sentido BIBO.
Resposta
O sistema
é
linear,
variável no tempo,
causal,
dinâmico (com memória)
e instável (não BIBO estável).
linear,
variável no tempo,
causal,
dinâmico (com memória)
e instável (não BIBO estável).