(Singh, Heldman, 2009; Exemplo 1.8) Um sistema de separação por membranas é utilizado para concentração do teor de sólidos em um alimento de
para
. O sistema é realizado em dois estágios, uma vez que a concentração do produto obtido com apenas um estágio é inferior ao desejado. O primeiro estágio do sistema concentra o produto até
de sólidos, sendo que o permeado ainda contém
de sólidos. O segundo estágio concentra então o produto até
de sólidos, sendo seu permeado (
de sólidos) misturado à corrente de alimentação para garantia de maior eficiência do processo (essa corrente é chamada de corrente de reciclo). Determine a magnitude da corrente de reciclo para a produção de
do produto final.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de separação por membranas que aumenta a concentração de sólidos em um alimento de 10% para 30%. Esse processo é feito em dois estágios porque, com apenas um, não dá para atingir a concentração desejada. No primeiro estágio, o produto fica com 25% de sólidos e o permeado tem 0,5%. No segundo estágio, o produto chega a 30% de sólidos, e o permeado desse estágio (com 2% de sólidos) é misturado de volta na alimentação para melhorar a eficiência. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a magnitude dessa corrente de reciclo para produzir 100 kg/min do produto final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com balanços de massa em dois estágios diferentes. Precisamos considerar tanto a quantidade total de massa quanto a quantidade de sólidos em cada estágio.
Passo 3
No primeiro estágio, temos a alimentação inicial com 10% de sólidos. Vamos chamar a taxa de alimentação de $ F $ kg/min. O produto desse estágio tem 25% de sólidos, e o permeado tem 0,5% de sólidos. Precisamos estabelecer as equações de balanço de massa total e de sólidos.
Passo 4
Vamos escrever as equações para o primeiro estágio:
- Balanço total de massa:
onde $ P_1 $ é o produto do primeiro estágio e $ W_1 $ é o permeado do primeiro estágio.
- Balanço de sólidos:
Passo 5
No segundo estágio, o produto final tem 30% de sólidos, e o permeado desse estágio tem 2% de sólidos, que é reciclado de volta à alimentação. Vamos chamar a taxa de produto final de $ P_2 = 100 $ kg/min e a taxa de permeado reciclado de $ W_2 = R $ kg/min.
As equações de balanço para o segundo estágio são:
- Balanço total de massa:
- Balanço de sólidos:
Passo 6
Agora, vamos resolver as equações passo a passo. Primeiro, expressamos $ W_1 $ em termos de $ F $ e $ P_1 $ a partir do balanço total do primeiro estágio:
Substituindo isso na equação do balanço de sólidos:
Passo 7
Agora, vamos para o segundo estágio. Sabemos que o produto final $ P_2 = 100 $ kg/min. Usando o balanço total de massa:
Mas também sabemos que $ W_2 = R $ (já que o permeado do segundo estágio é reciclado), então:
Passo 8
Voltando à equação que relaciona $ P_1 $ e $ F $:
Passo 9
Agora, encontramos $ F $, a taxa de alimentação total. Para encontrar a corrente de reciclo $ R $, usamos o balanço de sólidos do segundo estágio:
Resposta
A magnitude da corrente de reciclo necessária para produzir 100 kg/min do produto final é de 250 kg/min.