Sion dados A(0,5), B(1,2) e C(4,1).
a) Calcule o perimetro do triangulo A B C.
b) Mostre que A B C ć um triângulo obtusaingulo.

Passo 1

O enunciado dá os vértices
A=(0,5), B=(1,2), C=(4,1)
e pede:
– (a) o perímetro do triângulo ABC, que é a soma das três arestas;
– (b) mostrar que ABC é um triângulo obtuso, isto é, que um dos ângulos internos é maior que 90^circ.
Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e, em seguida, comparar os quadrados das arestas para identificar o ângulo obtuso.

Passo 2

Calcular AB, BC e AC pela fórmula
dl((x1,y1),(x2,y2)r) =raiz(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
Para AB:
AB=raiz(1-0)^2+(2-5)^2 =raiz1+9 =raiz10
Para BC:
BC=raiz(4-1)^2+(1-2)^2 =raiz9+1 =raiz10
Para AC:
AC=raiz(4-0)^2+(1-5)^2 =raiz16+16 =raiz32 =4raiz2

Passo 3

Somar as três arestas para obter o perímetro P:
P = AB + BC + AC =raiz10 + raiz10 + 4raiz2 =2raiz10 + 4raiz2

Passo 4

Identificar o maior lado e usar o critério do cosseno (equivalente a comparar quadrados):
o maior lado é AC, pois
AC=4raiz2approx5,66 > AB=BC=raiz10approx3,16
Verificamos
AC^2 = (4raiz2)^2 =32, AB^2+BC^2 =10+10=20,
e como
AC^2 > AB^2 + BC^2,
o ângulo oposto a AC (ou seja, o ângulo em B) é maior que 90^circ. Logo, ABC é um triângulo obtuso.

Resposta

Perímetro:
2raiz10 + 4raiz2
O triângulo ABC é obtuso, pois
AC^2 > AB^2 + BC^2

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