1. No sistema abaixo o transformador é ideal, \varepsilon_{0}=120 \mathrm{~V}, R=10 \Omega, N_{P}=4, N_{S}=8. Obtenha as amplitudes de \varepsilon_{S}, I_{S}, I_{P}. Qual é a taxa de produção de calor na resistência? Resp: \varepsilon_{S}=240 \mathrm{~V}, I_{S}=24 \mathrm{~A}, I_{P}=12 \mathrm{~A}, P_{\text {ele }}=5760 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado fornece um transformador ideal com tensão no primário dada por \varepsilon_{P}(t)=\varepsilon_{0}\sin(\omega t) e os dados numéricos:
\varepsilon_{0}=120\\ \mathrm{V},\qquad R=10\\ \Omega,\qquad N_{P}=4,\qquad N_{S}=8.
As perguntas são: obter as amplitudes de \varepsilon_{S}, I_{S} e I_{P}; e determinar a taxa de produção de calor na resistência (potência dissipada em R).

Passo 2

Relação entre tensões em um transformador ideal (fórmula e explicação): a tensão por espira é a mesma para primário e secundário, então as amplitudes das tensões são proporcionais ao número de espiras. A relação é
\frac{\varepsilon_{P}}{\varepsilon_{S}}=\frac{N_{P}}{N_{S}}.
Aqui \varepsilon_{P} e \varepsilon_{S} são as amplitudes (valores de pico) das tensões no primário e no secundário; N_{P} e N_{S} são o número de espiras do primário e do secundário. Usando essa fórmula para encontrar \varepsilon_{S}:
\varepsilon_{S}=\varepsilon_{P}\cdot\frac{N_{S}}{N_{P}}.
Substituindo os valores dados:
\varepsilon_{S}=120\\ \mathrm{V}\cdot\frac{8}{4}=120\\ \mathrm{V}\cdot 2=240\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Cálculo da corrente no secundário I_{S} usando a lei de Ohm (explicação): a resistência R está conectada ao secundário, portanto a amplitude da corrente no secundário é a amplitude da tensão no secundário dividida por R:
I_{S}=\frac{\varepsilon_{S}}{R}.
Substituindo:
I_{S}=\frac{240\\ \mathrm{V}}{10\\ \Omega}=24\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Relação de correntes em transformador ideal (fórmula e justificativa física): para um transformador ideal as forças magnetomotrizes se equilibram (o fluxo magnético é produzido pela soma algébrica das ampere-espiras), o que dá a condição (em módulos)
N_{P}I_{P}=N_{S}I_{S}.
Dessa igualdade obtemos a relação entre amplitudes das correntes:
\frac{I_{P}}{I_{S}}=\frac{N_{S}}{N_{P}}.
Isto significa que as correntes são inversamente proporcionais às espiras quando consideramos a conservação das ampere-espiras (e na prática, também corresponde à conservação de potência \varepsilon_{P}I_{P}=\varepsilon_{S}I_{S} para o transformador ideal). Agora calculamos I_{P}:
I_{P}=I_{S}\cdot\frac{N_{S}}{N_{P}}=24\\ \mathrm{A}\cdot\frac{8}{4}=24\\ \mathrm{A}\cdot 2=48\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Cálculo da potência dissipada na resistência R (explicação e verificação por duas fórmulas): a potência elétrica transformada em calor pelo resistor é dada por
P_{\text{ele}}= \varepsilon_{S}\cdot I_{S} = I_{S}^{2}R = \frac{\varepsilon_{S}^{2}}{R}.
Usando \varepsilon_{S}=240\\ \mathrm{V} e I_{S}=24\\ \mathrm{A}:
P_{\text{ele}}=240\\ \mathrm{V}\cdot 24\\ \mathrm{A}=5760\\ \mathrm{W}.
Verificação com I_{S}^{2}R:
I_{S}^{2}R=(24\\ \mathrm{A})^{2}\cdot 10\\ \Omega=576\cdot 10=5760\\ \mathrm{W},
mesmo resultado, perfeito.

Passo 6

Checagem de consistência física (explicação): para um transformador ideal deve valer \varepsilon_{P}I_{P}=\varepsilon_{S}I_{S}. Calculando os dois lados com nossos valores:
\varepsilon_{P}I_{P}=120\\ \mathrm{V}\cdot 48\\ \mathrm{A}=5760\\ \mathrm{W},
\varepsilon_{S}I_{S}=240\\ \mathrm{V}\cdot 24\\ \mathrm{A}=5760\\ \mathrm{W},
logo estão iguais, como esperado. Observação: o conjunto de valores fornecido na resposta do enunciado que você mostrou ( I_{P}=12\\ \mathrm{A}) não é consistente com a conservação de potência; provavelmente houve um erro tipográfico aí. Os cálculos acima seguem as leis do transformador ideal e são consistentes entre si.

Resposta

\varepsilon_{S}=240\\ \mathrm{V}
I_{S}=24\\ \mathrm{A}
I_{P}=48\\ \mathrm{A}
P_{\text{ele}}=5760\\ \mathrm{W}

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