Considere agora que o campo é oscilante, \mathbf{B}(t)=B_{0} \cos (\omega t) e a barra é livre para se mover horizontalmente. (a) Obtenha uma expressão para a corrente induzida no circuito (corrente positiva no sentido anti-horário). (b) Escreva a eq. de Newton da barra marrom. Resp: I(t)=-\frac{1}{R} \frac{d}{d t}[a x(t) B(t)]=-\left(\frac{a B_{0}}{R}\right)[v(t) \cos (\omega t)-x(t) \omega \sin (\omega t)] ; M \frac{d^{2} x}{d t^{2}}= -\left(\frac{a^{2} B_{0}^{2}}{R}\right)\left[\frac{d x}{d t} \cos ^{2}(\omega t)-x(t) \omega \sin (\omega t) \cos (\omega t)\right]=a I(t) B(t)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
\text{Campo magnético: }\mathbf{B}(t)=B_{0}\cos(\omega t).é
A barra pode se mover horizontalmente; a posição da barra ao longo do tempo é \,x(t)\, e a velocidade é \,v(t)=\dfrac{d x}{d t}\,. A largura (ou comprimento dentro do circuito) da barra é \,a\, (logo a área do laço muda como \,A(t)=a\,x(t)\,). A resistência total do circuito é \,R\, e a massa da barra é \,M\,. A corrente positiva é definida no sentido anti-horário.
O que se pede:
(a) A expressão da corrente induzida \,I(t)\, (com a convenção positiva anti-horária).
(b) A equação de Newton para a barra marrom (i.e., a equação de movimento M\,d^{2}x/dt^{2}=\dots).

Passo 2

Conceito chave que vamos usar (explicação didática): lei de Faraday da indução magnética e Lei de Ohm.
Lei de Faraday (em palavras simples): uma variação no fluxo magnético através de um circuito gera uma força eletromotriz (fem, ou \varepsilon) no circuito. A fórmula é
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt},
onde \Phi(t) é o fluxo magnético através do circuito. O sinal negativo (a chamada regra de Lenz) diz que a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo que a provoca.
Explicando o fluxo magnético: se o campo é uniforme e perpendicular à superfície do laço, o fluxo magnético é
\Phi(t)=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=B(t)\,A(t).
Aqui \,B(t)\, é a intensidade do campo (já dada) e \,A(t)\, é a área do laço, que no nosso caso é \,a\,x(t)\, porque a barra desloca a borda do retângulo.
Lei de Ohm para o circuito: a corrente induzida é a fem dividida pela resistência:
I(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R}.
Essa equação dá a relação entre a força eletromotriz gerada e a corrente que aparece no circuito.

Passo 3

Calcular explicitamente o fluxo magnético \Phi(t) usando a área \,A(t)=a\,x(t)\, e \,B(t)=B_{0}\cos(\omega t).
\Phi(t)=a\,x(t)\,B(t)=a\,x(t)\,B_{0}\cos(\omega t).

Passo 4

Aplicar Faraday para achar a fem \varepsilon(t). Vamos derivar \Phi(t) em relação ao tempo. Antes, defino \,v(t)=\dfrac{d x}{d t}\,.
Cálculo da derivada (mostrando passo a passo):
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\bigl[a\,x(t)\,B(t)\bigr].
Como a é constante, aplicamos a regra do produto para as funções x(t) e B(t):
\frac{d}{dt}\bigl[a\,x\,B\bigr]=a\left(\frac{d x}{dt}\,B + x\,\frac{d B}{dt}\right)=a\bigl(v(t)\,B(t)+x(t)\,\dot{B}(t)\bigr).
Portanto
\varepsilon(t) = -a\bigl(v(t)\,B(t)+x(t)\,\dot{B}(t)\bigr).

Passo 5

Calcular \dot{B}(t) explicitamente e simplificar a expressão. Como \,B(t)=B_{0}\cos(\omega t)\,,
\dot{B}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[B_{0}\cos(\omega t)\bigr]=-B_{0}\omega\sin(\omega t).
Substituindo em \varepsilon(t):
\varepsilon(t) = -a\Bigl(v(t)\,B_{0}\cos(\omega t) + x(t)\bigl(-B_{0}\omega\sin(\omega t)\bigr)\Bigr).
Organizando os sinais:
\varepsilon(t) = -a B_{0}\bigl(v(t)\cos(\omega t) - x(t)\,\omega\sin(\omega t)\bigr).

Passo 6

Aplicar a Lei de Ohm para obter a corrente induzida \,I(t)=\dfrac{\varepsilon(t)}{R}\,. Como definimos a corrente positiva no sentido anti-horário e a expressão de \varepsilon(t) já contém o sinal de Faraday/Lenz, basta dividir por R:
I(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R}=-\frac{a B_{0}}{R}\bigl(v(t)\cos(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\bigr).
Comentário físico curto (didático): o sinal negativo significa que a corrente induzida age para se opor à mudança do fluxo; com a convenção adotada, se o termo entre parênteses for positivo, a corrente será negativa (ou seja, no sentido horário). Mas a expressão acima já dá a corrente com a convenção pedida.

Passo 7

Agora vamos escrever a equação de Newton para a barra: identificar a força magnética que atua sobre a barra devido à corrente e ao campo.
Conceito usado (explicação): a força magnética sobre um fio retilíneo de comprimento \,a\, que carrega corrente \,I\, em um campo magnético \,B\, perpendicular é, em magnitude,
F_{\text{mag}} = a\,I\,B.
Direção: a força está ao longo do eixo de movimento (horizontal), seu sinal resulta da orientação da corrente e do campo, e do sinal da corrente dada por I(t). Não precisamos usar a forma vetorial complexa aqui porque o campo é perpendicular e a geometria é a usual do laço retangular.
A segunda lei de Newton, projetada na direção x, é
M\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{\text{mag}}(t).

Passo 8

Substituir \,I(t)\, e \,B(t)\, na expressão F_{\text{mag}}=a\,I(t)\,B(t). Já temos
I(t)=-\frac{a B_{0}}{R}\bigl(v(t)\cos(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\bigr)
e
B(t)=B_{0}\cos(\omega t).
Multiplicando:
F_{\text{mag}}(t)=a\,I(t)\,B(t) = a\left[-\frac{a B_{0}}{R}\bigl(v(t)\cos(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\bigr)\right]B_{0}\cos(\omega t).
Colocando os fatores juntos:
F_{\text{mag}}(t) = -\frac{a^{2}B_{0}^{2}}{R}\Bigl(v(t)\cos^{2}(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t)\Bigr).

Passo 9

Agora escrevemos a equação de Newton substituindo F_{\text{mag}} no lado direito:
M\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{a^{2}B_{0}^{2}}{R}\Bigl(\frac{d x}{dt}\cos^{2}(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t)\Bigr).
Essa é a equação de movimento da barra. Note que os coeficientes dependem do tempo (funções de \omega t), então trata-se de uma equação diferencial não-autônoma com termos que atuam como um amortecimento / força proporcional à velocidade e um termo proporcional à posição, ambos com fatores temporais oscilantes.

Resposta

I(t)=-\dfrac{1}{R}\dfrac{d}{dt}\bigl[a\,x(t)\,B(t)\bigr]=-\left(\dfrac{a B_{0}}{R}\right)\bigl[v(t)\cos(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\bigr]\n
M\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\left(\dfrac{a^{2}B_{0}^{2}}{R}\right)\left[\dfrac{d x}{dt}\cos^{2}(\omega t)-x(t)\,\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t)\right]=a\,I(t)\,B(t)

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