Considere agora que o campo é oscilante,
e a barra é livre para se mover horizontalmente. (a) Obtenha uma expressão para a corrente induzida no circuito (corrente positiva no sentido anti-horário). (b) Escreva a eq. de Newton da barra marrom. Resp:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
A barra pode se mover horizontalmente; a posição da barra ao longo do tempo é
e a velocidade é
. A largura (ou comprimento dentro do circuito) da barra é
(logo a área do laço muda como
). A resistência total do circuito é
e a massa da barra é
. A corrente positiva é definida no sentido anti-horário.
O que se pede:
(a) A expressão da corrente induzida (com a convenção positiva anti-horária).
(b) A equação de Newton para a barra marrom (i.e., a equação de movimento ).
(a) A expressão da corrente induzida
(b) A equação de Newton para a barra marrom (i.e., a equação de movimento
Passo 2
Conceito chave que vamos usar (explicação didática): lei de Faraday da indução magnética e Lei de Ohm.
Lei de Faraday (em palavras simples): uma variação no fluxo magnético através de um circuito gera uma força eletromotriz (fem, ou
) no circuito. A fórmula é
onde
é o fluxo magnético através do circuito. O sinal negativo (a chamada regra de Lenz) diz que a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo que a provoca.
Explicando o fluxo magnético: se o campo é uniforme e perpendicular à superfície do laço, o fluxo magnético é
Aqui
é a intensidade do campo (já dada) e
é a área do laço, que no nosso caso é
porque a barra desloca a borda do retângulo.
Lei de Ohm para o circuito: a corrente induzida é a fem dividida pela resistência:
Essa equação dá a relação entre a força eletromotriz gerada e a corrente que aparece no circuito.
Passo 3
Calcular explicitamente o fluxo magnético
usando a área
e
.
Passo 4
Aplicar Faraday para achar a fem
. Vamos derivar
em relação ao tempo. Antes, defino
.
Cálculo da derivada (mostrando passo a passo):
Como
é constante, aplicamos a regra do produto para as funções
e
:
Portanto
Passo 5
Calcular
explicitamente e simplificar a expressão. Como
,
Substituindo em
:
Organizando os sinais:
Passo 6
Aplicar a Lei de Ohm para obter a corrente induzida
. Como definimos a corrente positiva no sentido anti-horário e a expressão de
já contém o sinal de Faraday/Lenz, basta dividir por
:
Comentário físico curto (didático): o sinal negativo significa que a corrente induzida age para se opor à mudança do fluxo; com a convenção adotada, se o termo entre parênteses for positivo, a corrente será negativa (ou seja, no sentido horário). Mas a expressão acima já dá a corrente com a convenção pedida.
Passo 7
Agora vamos escrever a equação de Newton para a barra: identificar a força magnética que atua sobre a barra devido à corrente e ao campo.
Conceito usado (explicação): a força magnética sobre um fio retilíneo de comprimento
que carrega corrente
em um campo magnético
perpendicular é, em magnitude,
Direção: a força está ao longo do eixo de movimento (horizontal), seu sinal resulta da orientação da corrente e do campo, e do sinal da corrente dada por
. Não precisamos usar a forma vetorial complexa aqui porque o campo é perpendicular e a geometria é a usual do laço retangular.
A segunda lei de Newton, projetada na direção
, é
Passo 8
Substituir
e
na expressão
. Já temos
e
Multiplicando:
Colocando os fatores juntos:
Passo 9
Agora escrevemos a equação de Newton substituindo
no lado direito:
Essa é a equação de movimento da barra. Note que os coeficientes dependem do tempo (funções de
), então trata-se de uma equação diferencial não-autônoma com termos que atuam como um amortecimento / força proporcional à velocidade e um termo proporcional à posição, ambos com fatores temporais oscilantes.