Considere um sistema contendo duas cargas pontuais, uma com
localizada em
e outracom
localizada em
.
(a) Calcule a força atuando sobre a carga
.
(b) Calcule o campo elétrico no ponto
.
(c) Desenhe aproximadamente as linhas de campo elétrico.
(a) Calcule a força atuando sobre a carga
(b) Calcule o campo elétrico no ponto
(c) Desenhe aproximadamente as linhas de campo elétrico.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com duas cargas pontuais colocadas ao longo do eixo
:
- uma carga
localizada em ; - outra carga
localizada em .
Perguntas:
(a) Calcular a força atuando sobre a carga (a que está em
).
(b) Calcular o campo elétrico no ponto com
.
(c) Desenhar aproximadamente as linhas de campo elétrico (e discutir características importantes delas).
(a) Calcular a força atuando sobre a carga
(b) Calcular o campo elétrico no ponto
(c) Desenhar aproximadamente as linhas de campo elétrico (e discutir características importantes delas).
Informações relevantes dadas:
- posições e valores das cargas:
em e em . - o ponto
pedido em (b) está à direita de ambas as cargas ( ).
(Nada mais foi dado; vamos usar as leis básicas do eletromagnetismo para resolver.)
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntuais):
onde
,
são as cargas e
é a distância entre elas. Explicando as variáveis:
é a constante eletrostática,
é a permissividade do vácuo, e
é a distância entre as cargas. A força é ao longo da linha que une as cargas e a direção depende dos sinais (mesmo sinal → repulsão; sinais opostos → atração).
- Campo elétrico criado por uma carga pontual
em um ponto a distância é (vetorialmente):
onde
é o versor que aponta do ponto onde está
para o ponto em que se calcula o campo (para
o campo aponta para fora, para
aponta para dentro).
- Princípio da superposição: o campo total em um ponto é a soma vetorial dos campos criados por cada carga individualmente:
Essas são as ferramentas — agora aplicamos passo a passo ao problema.
Passo 3
Parte (a): força sobre a carga
em
.
-
Distância entre as cargas: a carga
está em e a carga está em . A distância entre elas é -
Módulo da força que
exerce sobre pela lei de Coulomb:
Aqui usei
(assumindo
positivo).
- Direção (vetor): se
e têm o mesmo sinal (caso mais comum, supondo ), a força é de repulsão: a carga em empurra a carga em para a esquerda (sentido negativo de ). Então o vetor força sobre a carga é para . Em notação vetorial:
Se
(as cargas têm sinais opostos?), a direção inverte — regra geral: mantenha o fator
no sinal. Em forma geral vetorial, usando produto de cargas:
mas para esclarecer no caso usual
a resposta compacta é
Passo 4
Parte (b): campo elétrico em
com
.
Plano de ação: calcular o campo de cada carga em
e somar vetorialmente (superposição). Como
está à direita das duas cargas, os campos gerados por ambas (se
) apontam para a direita (
), porque o campo gerado por uma carga positiva aponta para fora (longe da carga).
- Distâncias do ponto
às cargas:
- distância de
à carga (em ) é - distância de
à carga (em ) é
- Campos produzidos (módulos e direção):
- campo devido a
em :
direção: para
é
. Em forma vetorial (mantendo possível sinal de
):
Expliquei: aqui o sinal de
determina a direção automaticamente; se
é positivo,
aponta para
.
- campo devido a
em :
direção: para
também
. Vetorialmente:
Passo 5
Somando (superposição) para obter o campo total em
(com
):
Fatorando
:
Comentário didático: se
o vetor aponta para
(para a direita); se
o vetor aponta para
. Para grandes
(ou seja
) podemos aproximar somando cargas como um único total
em origem:
, que é uma verificação de ordem de grandeza útil.
Passo 6
Parte (c): linhas de campo elétrico — regras rápidas e aplicação ao caso:
Regras básicas sobre linhas de campo:
- Linha de campo sai de cargas positivas e entra em cargas negativas.
- A densidade de linhas (quantas linhas por área) é proporcional à intensidade do campo e, na representação qualitativa, proporcional à magnitude da carga (mais carga → mais linhas saindo).
- Linhas não se cruzam; entre cargas de mesmo sinal, não há linhas que comecem em uma e terminem na outra (não “conectam” cargas do mesmo sinal).
- Pontos onde
são pontos de sela/nulo; linhas de campo evitam atravessar exatamente esse ponto (campo nulo no ponto).
Aplicando ao nosso caso (assumindo as cargas positivas,
e
):
- Ambas as cargas são positivas, então as linhas saem de ambas para o infinito.
- A carga
em emite aproximadamente três vezes mais linhas do que a carga em . Em desenho, represente mais linhas saindo de . - Entre as cargas haverá uma região onde os campos se opõem; existe um ponto ao longo do eixo
entre e onde o campo resultante é zero (ponto nulo). Esse ponto fica mais perto da carga menor ( ). Vamos achar sua posição (bônus útil para desenhar):
Resolver
ao longo do eixo entre as cargas: para
o campo devido a
(localizada em
) aponta para a direita e o campo devido a
(em
) aponta para a esquerda; anulam-se quando seus módulos são iguais:
Cancelando
e tomando raízes positivas:
Isolando
:
Portanto
Nota numérica:
, então
— isto é, o ponto nulo está entre as cargas, deslocado para a esquerda do centro (mais perto da carga menor em
), como intuíamos.
Como desenhar (descrição para você rabiscar na folha):
- Marque o eixo
e coloque um símbolo em e em . - Desenhe várias linhas saindo de cada carga radialmente; desenhe cerca de 3 vezes mais linhas saindo de
do que de . - Leve em conta que à direita de
as linhas saem praticamente para a direita e se afastam para o infinito; à esquerda de as linhas saem para a esquerda. - Entre as cargas as linhas se curvam; próximo ao ponto nulo em
o campo é zero, então irá haver uma região onde as linhas parecem “afastar-se” uma da outra, mostrando que não há fluxo atravessando o ponto nulo. - Desenho simples e suficiente para prova: círculos concêntricos quebrados ao redor de cada carga, com setas apontando para fora, e linhas curvas que mostram repulsão mútua — sempre mais densas saindo de
.
Resposta
(a)
(para
; em geral direção dada pelo sinal de
).
(b)
(c) Linhas de campo saem de ambas as cargas (ambas positivas), com aproximadamente três vezes mais linhas saindo de do que de
; existe um ponto nulo entre as cargas em
. As linhas se afastam para o infinito, curvando-se entre as cargas e refletindo a maior intensidade ao redor de
.
(b)
(c) Linhas de campo saem de ambas as cargas (ambas positivas), com aproximadamente três vezes mais linhas saindo de