Considere um sistema contendo duas cargas pontuais, uma com q localizada em x=-a e outracom 3 q localizada em x=a.
(a) Calcule a força atuando sobre a carga q.
(b) Calcule o campo elétrico no ponto \boldsymbol{P}=(x, 0), \operatorname{com} x>a.
(c) Desenhe aproximadamente as linhas de campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com duas cargas pontuais colocadas ao longo do eixo x:
  • uma carga q localizada em x=-a;
  • outra carga 3q localizada em x=+a.
Perguntas:
(a) Calcular a força atuando sobre a carga \,q (a que está em x=-a).
(b) Calcular o campo elétrico no ponto \,P=(x,0) com \,x>a.
(c) Desenhar aproximadamente as linhas de campo elétrico (e discutir características importantes delas).
Informações relevantes dadas:
  • posições e valores das cargas: \,q em -a e \,3q em +a.
  • o ponto P pedido em (b) está à direita de ambas as cargas ( x>a).
    (Nada mais foi dado; vamos usar as leis básicas do eletromagnetismo para resolver.)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntuais): F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \,q_1,q_2 são as cargas e \,r é a distância entre elas. Explicando as variáveis: \,k é a constante eletrostática, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, e \,r é a distância entre as cargas. A força é ao longo da linha que une as cargas e a direção depende dos sinais (mesmo sinal → repulsão; sinais opostos → atração).
  • Campo elétrico criado por uma carga pontual \,Q em um ponto a distância \,r é (vetorialmente): \mathbf{E} = k\frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde \,\hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta do ponto onde está Q para o ponto em que se calcula o campo (para Q>0 o campo aponta para fora, para Q<0 aponta para dentro).
  • Princípio da superposição: o campo total em um ponto é a soma vetorial dos campos criados por cada carga individualmente:
\mathbf{E}_{\text{total}}=\sum \mathbf{E}_i.
Essas são as ferramentas — agora aplicamos passo a passo ao problema.

Passo 3

Parte (a): força sobre a carga \,q em x=-a.
  1. Distância entre as cargas: a carga \,q está em x=-a e a carga \,3q está em x=+a. A distância entre elas é r = (+a)-(-a)=2a.
  2. Módulo da força que \,3q exerce sobre \,q pela lei de Coulomb: F_{\text{mód}} = k\frac{|q\cdot 3q|}{(2a)^2} = k\frac{3q^2}{4a^2}.ó
Aqui usei |q\cdot 3q|=3q^2 (assumindo q^2 positivo).
  1. Direção (vetor): se \,q e \,3q têm o mesmo sinal (caso mais comum, supondo q>0), a força é de repulsão: a carga em +a empurra a carga em -a para a esquerda (sentido negativo de x). Então o vetor força sobre a carga q é para -\hat{\mathbf{x}}. Em notação vetorial: \mathbf{F} = -\,k\frac{3q^2}{4a^2}\,\hat{\mathbf{x}}\quad\text{(se \(q>0\)).}
Se q<0 (as cargas têm sinais opostos?), a direção inverte — regra geral: mantenha o fator q\cdot 3q no sinal. Em forma geral vetorial, usando produto de cargas: \mathbf{F} = k\frac{q\,(3q)}{(2a)^2}\,\hat{\mathbf{r}}_{( -a\to +a )},
mas para esclarecer no caso usual q>0 a resposta compacta é \mathbf{F} = -\,k\frac{3q^2}{4a^2}\,\hat{\mathbf{x}}.

Passo 4

Parte (b): campo elétrico em P=(x,0) com x>a.
Plano de ação: calcular o campo de cada carga em P e somar vetorialmente (superposição). Como P está à direita das duas cargas, os campos gerados por ambas (se q>0) apontam para a direita ( +\hat{\mathbf{x}}), porque o campo gerado por uma carga positiva aponta para fora (longe da carga).
  1. Distâncias do ponto P às cargas:
  • distância de P à carga q (em -a) é r_1 = x - (-a) = x + a.
  • distância de P à carga 3q (em +a) é r_2 = x - a.
  1. Campos produzidos (módulos e direção):
  • campo devido a \,q em P: E_1 = k\frac{|q|}{(x+a)^2},
direção: para q>0 é +\hat{\mathbf{x}}. Em forma vetorial (mantendo possível sinal de q): \mathbf{E}_1 = k\frac{q}{(x+a)^2}\,\hat{\mathbf{x}}.
Expliquei: aqui o sinal de q determina a direção automaticamente; se q é positivo, \mathbf{E}_1 aponta para +\hat{\mathbf{x}}.
  • campo devido a \,3q em P: E_2 = k\frac{3|q|}{(x-a)^2},
direção: para q>0 também +\hat{\mathbf{x}}. Vetorialmente: \mathbf{E}_2 = k\frac{3q}{(x-a)^2}\,\hat{\mathbf{x}}.

Passo 5

Somando (superposição) para obter o campo total em P (com x>a):
\mathbf{E}(x) = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 = k\left(\frac{q}{(x+a)^2}+\frac{3q}{(x-a)^2}\right)\hat{\mathbf{x}}.
Fatorando kq: \boxed{\displaystyle \mathbf{E}(x)=kq\left(\frac{1}{(x+a)^2}+\frac{3}{(x-a)^2}\right)\hat{\mathbf{x}},\quad x>a.}
Comentário didático: se q>0 o vetor aponta para +\hat{\mathbf{x}} (para a direita); se q<0 o vetor aponta para -\hat{\mathbf{x}}. Para grandes x (ou seja x\gg a) podemos aproximar somando cargas como um único total 4q em origem: \mathbf{E}\approx k\frac{4q}{x^2}\hat{\mathbf{x}}, que é uma verificação de ordem de grandeza útil.

Passo 6

Parte (c): linhas de campo elétrico — regras rápidas e aplicação ao caso:
Regras básicas sobre linhas de campo:
  • Linha de campo sai de cargas positivas e entra em cargas negativas.
  • A densidade de linhas (quantas linhas por área) é proporcional à intensidade do campo e, na representação qualitativa, proporcional à magnitude da carga (mais carga → mais linhas saindo).
  • Linhas não se cruzam; entre cargas de mesmo sinal, não há linhas que comecem em uma e terminem na outra (não “conectam” cargas do mesmo sinal).
  • Pontos onde \mathbf{E}=0 são pontos de sela/nulo; linhas de campo evitam atravessar exatamente esse ponto (campo nulo no ponto).
Aplicando ao nosso caso (assumindo as cargas positivas, q>0 e 3q>0):
  • Ambas as cargas são positivas, então as linhas saem de ambas para o infinito.
  • A carga 3q em +a emite aproximadamente três vezes mais linhas do que a carga q em -a. Em desenho, represente mais linhas saindo de +a.
  • Entre as cargas haverá uma região onde os campos se opõem; existe um ponto ao longo do eixo x entre -a e +a onde o campo resultante é zero (ponto nulo). Esse ponto fica mais perto da carga menor ( q). Vamos achar sua posição (bônus útil para desenhar):
Resolver \mathbf{E}=0 ao longo do eixo entre as cargas: para -a<x<a o campo devido a q (localizada em -a) aponta para a direita e o campo devido a 3q (em +a) aponta para a esquerda; anulam-se quando seus módulos são iguais:
k\frac{q}{(x+a)^2}=k\frac{3q}{(a-x)^2}.
Cancelando kq e tomando raízes positivas:
\frac{1}{(x+a)^2}=\frac{3}{(a-x)^2}\quad\Rightarrow\quad a-x=\sqrt{3}\,(x+a).
Isolando x:
a - x = \sqrt{3}x + \sqrt{3}a \quad\Rightarrow\quad a(1-\sqrt{3}) = x(1+\sqrt{3}).
Portanto
\boxed{\displaystyle x = a\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = a(\sqrt{3}-2).}
Nota numérica: \sqrt{3}-2\approx -0,2679, então x\approx -0{,}2679\,a — isto é, o ponto nulo está entre as cargas, deslocado para a esquerda do centro (mais perto da carga menor em -a), como intuíamos.
Como desenhar (descrição para você rabiscar na folha):
  • Marque o eixo x e coloque um símbolo +\!q em -a e +\!3q em +a.
  • Desenhe várias linhas saindo de cada carga radialmente; desenhe cerca de 3 vezes mais linhas saindo de +a do que de -a.
  • Leve em conta que à direita de +a as linhas saem praticamente para a direita e se afastam para o infinito; à esquerda de -a as linhas saem para a esquerda.
  • Entre as cargas as linhas se curvam; próximo ao ponto nulo em x\approx a(\sqrt{3}-2) o campo é zero, então irá haver uma região onde as linhas parecem “afastar-se” uma da outra, mostrando que não há fluxo atravessando o ponto nulo.
  • Desenho simples e suficiente para prova: círculos concêntricos quebrados ao redor de cada carga, com setas apontando para fora, e linhas curvas que mostram repulsão mútua — sempre mais densas saindo de +a.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F} = -\,k\frac{3q^2}{4a^2}\,\hat{\mathbf{x}} (para q>0; em geral direção dada pelo sinal de q).
(b) \displaystyle \mathbf{E}(x)=kq\left(\frac{1}{(x+a)^2}+\frac{3}{(x-a)^2}\right)\hat{\mathbf{x}},\quad x>a.
(c) Linhas de campo saem de ambas as cargas (ambas positivas), com aproximadamente três vezes mais linhas saindo de +a do que de -a; existe um ponto nulo entre as cargas em \displaystyle x=a(\sqrt{3}-2)\approx -0{,}2679\,a. As linhas se afastam para o infinito, curvando-se entre as cargas e refletindo a maior intensidade ao redor de +a.

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