Um sistema de abastecimento conduz água em regime permanente através de uma tubulação horizontal de ferro fundido com 100 m de comprimento e diâmetro interno de 100 mm . A vazão que escoa é de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
Sabe-se que o fator de atrito de Darcy é f=0,02. Determine a perda de carga distribuída ao longo da tubulação.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a perda de carga distribuída ao longo da tubulação (isto é, a perda de carga por atrito ao longo dos 100\\ \mathrm{m} de tubo).
Dados fornecidos:
  • comprimento da tubulação: L=100\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro interno: D=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m}.
  • vazão volumétrica: Q=10\\ \mathrm{L/s}=0,010\\ \mathrm{m^3/s}.
  • fator de atrito de Darcy: f=0,02.
  • tubulação horizontal (não há contribuição de elevação; só interessa perda por atrito).
    Pergunta clara: calcular a perda de carga distribuída h_f ao longo do tubo (normalmente dada em metros de coluna de água).

Passo 2

Converter e calcular a área da seção transversal do tubo (para obter a velocidade média). A área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}. Aplicando D=0,100\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0,100)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,0025 \approx 0,007854\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação didática: a área serve para transformar vazão volumétrica Q numa velocidade média v pelo balanço Q=A v. Aqui cada passo é direto: primeiro encontra-se a área do círculo do tubo.

Passo 3

Calcular a velocidade média v a partir de Q e A:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,010}{0,007854}\approx 1,2732\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: velocidade média é o que aparece na fórmula de perda de carga por atrito; é o quadrado dessa velocidade que determina a energia cinética na perda.

Passo 4

Apresentar a fórmula de Darcy–Weisbach e explicar cada termo. A perda de carga (cabeça de energia perdida por atrito) dada por Darcy–Weisbach é
h_{f}=f\;\frac{L}{D}\;\frac{v^{2}}{2g},
onde:
  • h_{f} é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • L é o comprimento do tubo (m);
  • D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • v é a velocidade média do fluido (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Breve aula: a fórmula compara a energia por unidade de peso (portanto em metros de coluna de fluido) associada à velocidade ( v^{2}/2g) multiplicada por um termo adimensional fL/D que mede quanto atrito se acumula ao longo do comprimento do tubo.

Passo 5

Calcular v^{2}/(2g). Primeiro v^{2}:
v^{2}=(1,2732)^{2}\approx 1,6211\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora dividir por 2g com g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{1,6211}{2\cdot 9,81}=\frac{1,6211}{19,62}\approx 0,08269\\ \mathrm{m}.
Interpretação: este termo é a “cabeça cinética” associada à velocidade, medida em metros de água.

Passo 6

Calcular h_{f} aplicando todos os valores na fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f}=0,02\cdot\frac{100}{0,100}\cdot 0,08269.
Aqui \dfrac{L}{D}=\dfrac{100}{0,100}=1000. Logo
h_{f}=0,02\cdot 1000\cdot 0,08269=20\cdot 0,08269\approx 1,6538\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se escrever h_{f}\approx 1,65\\ \mathrm{m}.

Passo 7

(Complemento útil) Se quiser converter essa perda de carga para queda de pressão \Delta p (às vezes pedida): use \Delta p=\rho g h_{f} com \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} para água:
\Delta p=1000\cdot 9,81\cdot 1,6538\approx 16227\\ \mathrm{Pa}\approx 16,2\\ \mathrm{kPa}.
Isto não era estritamente pedido, mas é uma transformação direta que pode aparecer na prova.

Resposta

h_{f}\approx 1,65\\ \mathrm{m}
\Delta p\approx 16,2\\ \mathrm{kPa}

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