Uma tubulação deve transportar água com vazão de 8 \mathrm{~L} / \mathrm{s} ao longo de 120 m . A perda de carga máxima admissível é de 5 m . Sabendo que: Fator de atrito: \mathrm{f}=0,02 - Determine o diâmetro mínimo da tubulação.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede: determinar o diâmetro mínimo da tubulação que transporte água com a perda de carga máxima admissível de 5 m ao longo de 120 m.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão: Q = 8\\ \mathrm{L/s}.
    • Comprimento da tubulação: L = 120\\ \mathrm{m}.
    • Perda de carga máxima admissível: h_f^{\max} = 5\\ \mathrm{m}.
    • Fator de atrito: f = 0{,}02.
  • O que vamos encontrar: o diâmetro interno mínimo D_{\min} que respeite h_f \le h_f^{\max}.
Observação de unidades (vou converter para o SI):
  • 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, portanto Q = 8\\ \mathrm{L/s} = 8\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}008\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 2

Fórmula fundamental (Darcy–Weisbach) para perda de carga por atrito em linha reta:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (em metros de coluna de água),
  • f é o fator de atrito adimensional,
  • L é o comprimento da tubulação (em metros),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (em metros),
  • V é a velocidade média do fluido na tubulação (em \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (uso g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Explicação rápida didática: a fórmula relaciona a perda de energia (transformada em altura) por atrito com a razão entre comprimento e diâmetro L/D (quanto mais longa e mais estreita, maior a perda) e com a energia cinética por unidade de peso do fluido (V^2/(2g)).

Passo 3

Relacionar velocidade V com vazão Q. A vazão volumétrica é a área da seção transversal vezes a velocidade média:
Q = A\,V = \frac{\pi D^2}{4}\,V.
Isolando V:
V = \frac{4Q}{\pi D^2}.
Explicação: a área de um círculo é \pi D^2/4; dividindo a vazão por essa área obtém-se a velocidade média.

Passo 4

Substituir V na equação de Darcy–Weisbach para obter h_f em função de D.
Primeiro calcule V^2:
V^2 = \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 = \frac{16 Q^2}{\pi^2 D^4}.
Substituindo em
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
obtemos
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\cdot\frac{16 Q^2}{\pi^2 D^4}.
Agrupando termos:
h_f = f\,L\;\frac{16 Q^2}{2\pi^2 g}\;\frac{1}{D^5} = f\,L\;\frac{8 Q^2}{\pi^2 g}\;\frac{1}{D^5}.
Portanto a dependência é h_f \propto \dfrac{1}{D^5}: uma pequena variação no diâmetro altera muito a perda de carga — por isso escolher o diâmetro adequado é importante.

Passo 5

Isolar D a partir da igualdade h_f = h_f^{\max} (para obter o diâmetro mínimo que atende a perda de carga máxima):
h_f^{\max} = f\,L\;\frac{8 Q^2}{\pi^2 g}\;\frac{1}{D^5}.
Isolando D^5:
D^5 = f\,L\;\frac{8 Q^2}{\pi^2 g}\;\frac{1}{h_f^{\max}}.
Logo
D = \left( f\,L\;\frac{8 Q^2}{\pi^2 g\,h_f^{\max}} \right)^{1/5}.
Essa fórmula direta já nos dá o diâmetro requerido em termos dos dados.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos (tudo em SI):
  • f = 0{,}02.
  • L = 120\\ \mathrm{m}.
  • Q = 0{,}008\\ \mathrm{m^3/s}.
  • g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • h_f^{\max} = 5\\ \mathrm{m}.
  • \pi^2 \approx 9{,}869604401.
Calcule passo a passo os termos:
  1. Q^2 = (0{,}008)^2 = 0{,}000064\\ \mathrm{(m^3/s)^2}.
  2. Numerador N = f\,L\,8 Q^2:
N = 0{,}02 \times 120 \times 8 \times 0{,}000064 = 0{,}0012288.
  1. Denominador D_{\text{aux}} = \pi^2\,g\,h_f^{\max}:
D_{\text{aux}} = 9{,}869604401 \times 9{,}81 \times 5 \approx 484{,}1040959.
  1. Razão interior para a quinta raiz:
R = \frac{N}{D_{\text{aux}}} = \frac{0{,}0012288}{484{,}1040959} \approx 2{,}5387109\times10^{-6}.

Passo 7

Tomando a quinta raiz:
D = R^{1/5} \approx \left(2{,}5387109\times10^{-6}\right)^{0{,}2}.
Calculando numericamente:
D \approx 0{,}075922\\ \mathrm{m} \approx 75{,}9\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: esse é o diâmetro mínimo interno que garante que a perda de carga por atrito não exceda 5\\ \mathrm{m} ao longo de 120\\ \mathrm{m}, para os dados fornecidos.
Observação prática (dica de prova e engenharia): em projeto, costuma-se adotar o próximo diâmetro comercial maior (por exemplo 80\\ \mathrm{mm}) para segurança e considerando espessura/abrigo. Mas o resultado calculado é o valor teórico mínimo.

Resposta

D_{\min} \approx 0{,}0759\\ \mathrm{m} = 75{,}9\\ \mathrm{mm}

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