Uma tubulação deve transportar água com vazão de
ao longo de 120 m . A perda de carga máxima admissível é de 5 m . Sabendo que: Fator de atrito:
- Determine o diâmetro mínimo da tubulação.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede: determinar o diâmetro mínimo da tubulação que transporte água com a perda de carga máxima admissível de 5 m ao longo de 120 m.
- Dados fornecidos:
- Vazão:
. - Comprimento da tubulação:
. - Perda de carga máxima admissível:
. - Fator de atrito:
.
- Vazão:
- O que vamos encontrar: o diâmetro interno mínimo
que respeite .
Observação de unidades (vou converter para o SI):
-
, portanto .
Passo 2
Fórmula fundamental (Darcy–Weisbach) para perda de carga por atrito em linha reta:
onde:
-
é a perda de carga (em metros de coluna de água), -
é o fator de atrito adimensional, -
é o comprimento da tubulação (em metros), -
é o diâmetro interno da tubulação (em metros), -
é a velocidade média do fluido na tubulação (em ), -
é a aceleração da gravidade (uso ).
Explicação rápida didática: a fórmula relaciona a perda de energia (transformada em altura) por atrito com a razão entre comprimento e diâmetro
(quanto mais longa e mais estreita, maior a perda) e com a energia cinética por unidade de peso do fluido
.
Passo 3
Relacionar velocidade
com vazão
. A vazão volumétrica é a área da seção transversal vezes a velocidade média:
Isolando
:
Explicação: a área de um círculo é
; dividindo a vazão por essa área obtém-se a velocidade média.
Passo 4
Substituir
na equação de Darcy–Weisbach para obter
em função de
.
Primeiro calcule
:
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos:
Portanto a dependência é
: uma pequena variação no diâmetro altera muito a perda de carga — por isso escolher o diâmetro adequado é importante.
Passo 5
Isolar
a partir da igualdade
(para obter o diâmetro mínimo que atende a perda de carga máxima):
Isolando
:
Logo
Essa fórmula direta já nos dá o diâmetro requerido em termos dos dados.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos (tudo em SI):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Calcule passo a passo os termos:
-
-
Numerador
:
- Denominador
:
- Razão interior para a quinta raiz:
Passo 7
Tomando a quinta raiz:
Calculando numericamente:
Interpretação: esse é o diâmetro mínimo interno que garante que a perda de carga por atrito não exceda
ao longo de
, para os dados fornecidos.
Observação prática (dica de prova e engenharia): em projeto, costuma-se adotar o próximo diâmetro comercial maior (por exemplo
) para segurança e considerando espessura/abrigo. Mas o resultado calculado é o valor teórico mínimo.