Determinar a distribuição de frequência (x) e distribuição acumulativa (X) e construir os gráficos em função do diâmetro médio de partícula da amostra.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a distribuição de frequência (isto é, as frequências por classe em função do diâmetro médio de partícula).
  • Determinar a distribuição acumulativa (isto é, frequências acumuladas) e construir os gráficos correspondentes em função do diâmetro médio.
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram enviadas):
  • A lista dos diâmetros observados (cada partícula) OU uma tabela já agrupada com classes e frequências.
  • Ou, no mínimo, o número total de observações N, o menor diâmetro \min e o maior diâmetro \max (para poder agrupar).
Como essas informações numéricas não foram fornecidas, não é possível calcular numericamente a distribuição de frequência nem construir os gráficos específicos da sua amostra. Portanto, não posso entregar um resultado numérico final sem os dados. Abaixo eu explico passo a passo, com fórmulas e um exemplo demonstrativo (apenas ilustrativo), exatamente o procedimento que você deve aplicar aos seus dados para obter a distribuição de frequência, a distribuição acumulada e os gráficos — de um jeito que você consiga reproduzir na hora da prova.

Passo 2

O que é cada coisa (definições e notação):
  • N = número total de observações (número de partículas medidas).
  • Vamos dividir o intervalo [\min,\max] em k classes (intervalos) disjuntas. A i-ésima classe terá limites inferior a_{i-1} e superior a_i.
  • O diâmetro médio (marca de classe) da i-ésima classe é x_i, definido por
x_i=\frac{a_{i-1}+a_i}{2}.
  • Frequência absoluta da i-ésima classe: f_i = número de observações nessa classe.
  • Frequência relativa da i-ésima classe: p_i=\dfrac{f_i}{N}.
  • Frequência absoluta acumulada até a classe i: F_i=\sum_{j=1}^{i} f_j.
  • Frequência relativa acumulada até a classe i: P_i=\dfrac{F_i}{N}=\sum_{j=1}^{i} p_j.
Esses são os elementos que vão compor a tabela pedida: coluna com a_{i-1}-a_i (classe), coluna com x_i (diâmetro médio), coluna com f_i, coluna com p_i, coluna com F_i, coluna com P_i.

Passo 3

Como escolher k (número de classes) e largura de classe h:
  • Regra prática (Sturges): calcular
k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}N,
arredonde para inteiro próximo (ou use \lceil\cdot\rceil se preferir mais classes). Outra opção simples é k\approx \sqrt{N} (boa para grandes N).
  • Depois calcule o alcance (range)
R=\max-\min.
  • Largura de classe teórica
h=\frac{R}{k}.
Arredonde h para um valor “bonito” (por exemplo 0,1; 0,2; 1; 5) que facilite contar à mão. Defina as classes usando h de forma que as classes cubram todo o intervalo e não deixem lacunas.
  • Convenção prática: use intervalos do tipo [a_{i-1},a_i) (inclui o limite inferior, exclui o superior) para todas as classes exceto a última, que pode ser [a_{k-1},a_k] (inclui o superior).

Passo 4

Passo a passo prático para montar a tabela (faça isto com os seus dados):
  1. Ordene (opcional) os dados e calcule N, \min, \max.
  2. Calcule k (Sturges) e R.
  3. Calcule h=R/k e escolha um h arredondado conveniente.
  4. Defina as classes: escolha um ponto inicial menor ou igual a \min e crie as classes sucessivas com largura h. Por exemplo, se \min=1{,}23 e h=0{,}25, as classes podem ser [1{,}00,1{,}25),[1{,}25,1{,}50),\dots.
  5. Conte quantos diâmetros caem em cada classe → obtenha f_i.
  6. Calcule p_i=f_i/N.
  7. Calcule F_i e P_i acumulando as frequências das classes anteriores.
  8. Calcule a marca de classe x_i=(a_{i-1}+a_i)/2 para cada i. Essa será a variável “em função do diâmetro médio” que o enunciado pede: normalmente a tabela e os gráficos mostram f_i (ou p_i ou F_i ou P_i) contra x_i.

Passo 5

Como montar os gráficos (passo a passo e dicas para prova)
  • Histograma (frequência absoluta versus diâmetro):
    • No eixo horizontal coloque o diâmetro usando as classes (os limites a_{i-1} e a_i).
    • No eixo vertical coloque f_i (ou p_i se preferir frequência relativa).
    • Para cada classe desenhe um retângulo de base igual à largura da classe h e altura f_i. Não ligue a altura à marca de classe; o retângulo ocupa todo o intervalo da classe.
    • Se usar frequência relativa, as áreas dos retângulos somam 1 quando a base é h e altura p_i/h, mas para provas básicas normalmente usa-se altura p_i e barra de largura h só para visualizar.
  • Polígono de frequências:
    • Calcule pontos (x_i,f_i) (marca x altura) e una os pontos por segmentos de reta; normalmente adiciona-se um ponto extra antes da primeira classe e outro depois da última com altura zero para fechar o polígono.
  • Ogiva (gráfico da frequência acumulada):
    • Eixo horizontal: limite superior de cada classe (ou a marca x_i, dependendo da convenção).
    • Eixo vertical: F_i (absoluta) ou P_i (relativa).
    • Plote pontos (\text{limite superior da classe }i,\;F_i) e una por segmentos de reta. Para frequência relativa a ogiva termina em 1.
  • Rótulos: sempre coloque título, unidades (ex.: diâmetro em mm), e informe se o eixo vertical é f_i ou p_i ou P_i.
  • Em prova, se pedirem “em função do diâmetro médio”, então apresente tabelas e polígonos onde o eixo x contém x_i (a marca de classe) e o eixo y contém f_i (ou p_i, ou as acumuladas).

Passo 6

Cálculos auxiliares úteis (para a prova)
  • Média aproximada a partir de dados agrupados:
\bar{x}\approx\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i.
Explique: multiplica-se a marca x_i pela frequência f_i, soma para todas as classes e divide por N.
  • Variância aproximada (agrupada):
s^2\approx\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i-\bar{x})^2.
  • Essas fórmulas permitem obter medidas de posição e dispersão sem os dados individuais, o que costuma ser pedido em provas.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (apenas para ver números e checar o método)
Os números a seguir são um exemplo fictício de 10 diâmetros (em mm): 1{,}2,\;1{,}3,\;1{,}4,\;1{,}5,\;1{,}6,\;1{,}7,\;1{,}8,\;1{,}9,\;2{,}0,\;2{,}1.
  1. Aqui N=10, \min=1{,}2, \max=2{,}1, então R=0{,}9.
  2. Pelo critério de Sturges:
k\approx 1+3{,}322\log_{10}10=1+3{,}322\cdot1=4{,}322\approx 4.
  1. Largura teórica h=R/k=0{,}9/4=0{,}225. Escolhemos h=0{,}25 (arredondamento conveniente).
  2. Definimos as classes (exemplo):
[1{,}20,1{,}45),\quad [1{,}45,1{,}70),\quad [1{,}70,1{,}95),\quad [1{,}95,2{,}20].
  1. Contagem das observações por classe (usando a convenção: incluir limite inferior, excluir o superior exceto última classe):
  • Classe 1 [1{,}20,1{,}45): f_1=3 (1{,}2;1{,}3;1{,}4).
  • Classe 2 [1{,}45,1{,}70): f_2=2 (1{,}5;1{,}6).
  • Classe 3 [1{,}70,1{,}95): f_3=3 (1{,}7;1{,}8;1{,}9).
  • Classe 4 [1{,}95,2{,}20]: f_4=2 (2{,}0;2{,}1).
    Confirme que \sum f_i=3+2+3+2=10=N.
  1. Marcas de classe:
x_1=\frac{1{,}20+1{,}45}{2}=1{,}325,\quad x_2=\frac{1{,}45+1{,}70}{2}=1{,}575,
x_3=\frac{1{,}70+1{,}95}{2}=1{,}825,\quad x_4=\frac{1{,}95+2{,}20}{2}=2{,}075.
  1. Frequências relativas:
p_i=\frac{f_i}{N}\\ \Rightarrow\\ p_1=0{,}30,\\ p_2=0{,}20,\\ p_3=0{,}30,\\ p_4=0{,}20.
  1. Frequências acumuladas:
F_1=3,\\ F_2=5,\\ F_3=8,\\ F_4=10.
Frequências relativas acumuladas:
P_1=0{,}30,\\ P_2=0{,}50,\\ P_3=0{,}80,\\ P_4=1{,}00.
  1. Resultado (tabela de resumo para o exemplo):
  • Classe [1{,}20,1{,}45): x_1=1{,}325,\\ f_1=3,\\ p_1=0{,}30,\\ F_1=3,\\ P_1=0{,}30.
  • Classe [1{,}45,1{,}70): x_2=1{,}575,\\ f_2=2,\\ p_2=0{,}20,\\ F_2=5,\\ P_2=0{,}50.
  • Classe [1{,}70,1{,}95): x_3=1{,}825,\\ f_3=3,\\ p_3=0{,}30,\\ F_3=8,\\ P_3=0{,}80.
  • Classe [1{,}95,2{,}20]: x_4=2{,}075,\\ f_4=2,\\ p_4=0{,}20,\\ F_4=10,\\ P_4=1{,}00.
Observação: os gráficos para esse exemplo seriam:
  • Histograma: barras sobre os intervalos dados com alturas 3,2,3,2.
  • Polígono: pontos em (1{,}325,3), (1{,}575,2), (1{,}825,3), (2{,}075,2) ligados.
  • Ogiva (acumulada): pontos em (1{,}45,3),(1{,}70,5),(1{,}95,8),(2{,}20,10) ligados por segmentos.

Passo 8

Dicas finais rápidas e motivadoras para a prova
  • Se o enunciado pedir “em função do diâmetro médio”, lembre-se: as tabelas e os polígonos usam x_i (marca) no eixo x. Já o histograma usa intervalos no eixo x. Ambos são aceitos; só organize claramente qual está sendo desenhado.
  • Se faltar precisão no enunciado (por ex., quantas classes usar), justifique a escolha (ex.: usei Sturges) e siga em frente — basta explicar a regra usada. Professores valorizam justificativa simples e correta.
  • Treine uma vez à mão com uma pequena amostra (como o exemplo acima) para ganhar confiança.
  • Se tiver calculadora: conte as classes com ela; se não, escolha k pequeno para poder contar rápido à mão.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a distribuição de frequência e a distribuíção acumulativa nem construir os gráficos porque os dados (lista de diâmetros ou uma tabela de classes/frequências) não foram fornecidos.

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