Determinar a distribuição de frequência (x) e distribuição acumulativa (X) e construir os gráficos em função do diâmetro médio de partícula da amostra.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a distribuição de frequência (isto é, as frequências por classe em função do diâmetro médio de partícula).
- Determinar a distribuição acumulativa (isto é, frequências acumuladas) e construir os gráficos correspondentes em função do diâmetro médio.
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram enviadas):
- A lista dos diâmetros observados (cada partícula) OU uma tabela já agrupada com classes e frequências.
- Ou, no mínimo, o número total de observações
, o menor diâmetro e o maior diâmetro (para poder agrupar).
Como essas informações numéricas não foram fornecidas, não é possível calcular numericamente a distribuição de frequência nem construir os gráficos específicos da sua amostra. Portanto, não posso entregar um resultado numérico final sem os dados. Abaixo eu explico passo a passo, com fórmulas e um exemplo demonstrativo (apenas ilustrativo), exatamente o procedimento que você deve aplicar aos seus dados para obter a distribuição de frequência, a distribuição acumulada e os gráficos — de um jeito que você consiga reproduzir na hora da prova.
Passo 2
O que é cada coisa (definições e notação):
-
= número total de observações (número de partículas medidas). - Vamos dividir o intervalo
em classes (intervalos) disjuntas. A i-ésima classe terá limites inferior e superior . - O diâmetro médio (marca de classe) da i-ésima classe é
, definido por
- Frequência absoluta da i-ésima classe:
= número de observações nessa classe. - Frequência relativa da i-ésima classe:
. - Frequência absoluta acumulada até a classe
: . - Frequência relativa acumulada até a classe
: .
Esses são os elementos que vão compor a tabela pedida: coluna com
(classe), coluna com
(diâmetro médio), coluna com
, coluna com
, coluna com
, coluna com
.
Passo 3
Como escolher
(número de classes) e largura de classe
:
- Regra prática (Sturges): calcular
arredonde para inteiro próximo (ou use
se preferir mais classes). Outra opção simples é
(boa para grandes
).
- Depois calcule o alcance (range)
- Largura de classe teórica
Arredonde
para um valor “bonito” (por exemplo 0,1; 0,2; 1; 5) que facilite contar à mão. Defina as classes usando
de forma que as classes cubram todo o intervalo e não deixem lacunas.
- Convenção prática: use intervalos do tipo
(inclui o limite inferior, exclui o superior) para todas as classes exceto a última, que pode ser (inclui o superior).
Passo 4
Passo a passo prático para montar a tabela (faça isto com os seus dados):
- Ordene (opcional) os dados e calcule
, , . - Calcule
(Sturges) e . - Calcule
e escolha um arredondado conveniente. - Defina as classes: escolha um ponto inicial menor ou igual a
e crie as classes sucessivas com largura . Por exemplo, se e , as classes podem ser . - Conte quantos diâmetros caem em cada classe → obtenha
. - Calcule
. - Calcule
e acumulando as frequências das classes anteriores. - Calcule a marca de classe
para cada i. Essa será a variável “em função do diâmetro médio” que o enunciado pede: normalmente a tabela e os gráficos mostram (ou ou ou ) contra .
Passo 5
Como montar os gráficos (passo a passo e dicas para prova)
- Histograma (frequência absoluta versus diâmetro):
- No eixo horizontal coloque o diâmetro usando as classes (os limites
e ). - No eixo vertical coloque
(ou se preferir frequência relativa). - Para cada classe desenhe um retângulo de base igual à largura da classe
e altura . Não ligue a altura à marca de classe; o retângulo ocupa todo o intervalo da classe. - Se usar frequência relativa, as áreas dos retângulos somam 1 quando a base é
e altura , mas para provas básicas normalmente usa-se altura e barra de largura só para visualizar.
- No eixo horizontal coloque o diâmetro usando as classes (os limites
- Polígono de frequências:
- Calcule pontos
(marca x altura) e una os pontos por segmentos de reta; normalmente adiciona-se um ponto extra antes da primeira classe e outro depois da última com altura zero para fechar o polígono.
- Calcule pontos
- Ogiva (gráfico da frequência acumulada):
- Eixo horizontal: limite superior de cada classe (ou a marca
, dependendo da convenção). - Eixo vertical:
(absoluta) ou (relativa). - Plote pontos
e una por segmentos de reta. Para frequência relativa a ogiva termina em 1.
- Eixo horizontal: limite superior de cada classe (ou a marca
- Rótulos: sempre coloque título, unidades (ex.: diâmetro em mm), e informe se o eixo vertical é
ou ou . - Em prova, se pedirem “em função do diâmetro médio”, então apresente tabelas e polígonos onde o eixo
contém (a marca de classe) e o eixo contém (ou , ou as acumuladas).
Passo 6
Cálculos auxiliares úteis (para a prova)
- Média aproximada a partir de dados agrupados:
Explique: multiplica-se a marca
pela frequência
, soma para todas as classes e divide por
.
- Variância aproximada (agrupada):
- Essas fórmulas permitem obter medidas de posição e dispersão sem os dados individuais, o que costuma ser pedido em provas.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (apenas para ver números e checar o método)
Os números a seguir são um exemplo fictício de 10 diâmetros (em mm): .
Os números a seguir são um exemplo fictício de 10 diâmetros (em mm):
- Aqui
, , , então . - Pelo critério de Sturges:
- Largura teórica
. Escolhemos (arredondamento conveniente). - Definimos as classes (exemplo):
- Contagem das observações por classe (usando a convenção: incluir limite inferior, excluir o superior exceto última classe):
- Classe 1
: (1{,}2;1{,}3;1{,}4). - Classe 2
: (1{,}5;1{,}6). - Classe 3
: (1{,}7;1{,}8;1{,}9). - Classe 4
: (2{,}0;2{,}1).
Confirme que.
- Marcas de classe:
- Frequências relativas:
- Frequências acumuladas:
Frequências relativas acumuladas:
- Resultado (tabela de resumo para o exemplo):
- Classe
: . - Classe
: . - Classe
: . - Classe
: .
Observação: os gráficos para esse exemplo seriam:
- Histograma: barras sobre os intervalos dados com alturas
. - Polígono: pontos em
ligados. - Ogiva (acumulada): pontos em
ligados por segmentos.
Passo 8
Dicas finais rápidas e motivadoras para a prova
- Se o enunciado pedir “em função do diâmetro médio”, lembre-se: as tabelas e os polígonos usam
(marca) no eixo . Já o histograma usa intervalos no eixo . Ambos são aceitos; só organize claramente qual está sendo desenhado. - Se faltar precisão no enunciado (por ex., quantas classes usar), justifique a escolha (ex.: usei Sturges) e siga em frente — basta explicar a regra usada. Professores valorizam justificativa simples e correta.
- Treine uma vez à mão com uma pequena amostra (como o exemplo acima) para ganhar confiança.
- Se tiver calculadora: conte as classes com ela; se não, escolha
pequeno para poder contar rápido à mão.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a distribuição de frequência e a distribuíção acumulativa nem construir os gráficos porque os dados (lista de diâmetros ou uma tabela de classes/frequências) não foram fornecidos.