3 Considere:
com condições iniciais
e
. Determine:
a. A solução homogênea.
b. A solução particular.
c. A solução completa
.
a. A solução homogênea.
b. A solução particular.
c. A solução completa
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
-
-
-
- Condições iniciais:
e .
-
-
O que o enunciado pede:
a. A solução homogênea (ou seja, a solução geral da equação homogênea associada).
b. A solução particular (uma solução específica da equação forçada).
c. A solução completaque satisfaça as condições iniciais.
Passo 2
Escrever a equação diferencial e explicar a estratégia de solução.
- A equação do movimento (segunda ordem, coeficientes constantes) é, em geral,
- Substituindo
e obtemos a equação que devemos resolver:
Explicação didática curta: esta é uma equação linear não homogênea. A solução geral é soma de duas partes:
- solução homogênea
da equação ; - solução particular
da equação completa .
Depois ajustamos constantes usando as condições iniciais.
Passo 3
Determinar a solução homogênea
.
- Para a homogênea escrevemos a equação:
- Montamos a equação característica associada substituindo
por :
- Resolver
dá
- Quando as raízes são puramente imaginárias
a solução homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência . Aqui . Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
Breve comentário didático: a solução homogênea descreve as oscilações livres do sistema (sem forçamento). A frequência natural do sistema é
, e por isso aparecem
e
.
Passo 4
Escolher a forma para a solução particular
usando método dos coeficientes indeterminados e tratar o caso de ressonância.
- O termo forçante é
. Normalmente, se a forçante fosse e não fosse raiz da equação característica, tentaríamos um palpite do tipo . - Porém aqui a frequência da forçante
coincide com a frequência natural do sistema . Esse é o caso de ressonância para um sistema sem amortecimento. Quando há coincidência com uma solução homogênea, é preciso multiplicar a tentativa por para obter uma forma independente. - Logo escolhemos o palpite (tentativa) para a solução particular na forma
onde
e
são constantes a determinar.
Explicação intuitiva: multiplicar por
garante que a forma candidata não esteja contida no espaço das soluções homogêneas (evita redundância com
) e captura o crescimento típico da solução particular em ressonância (a amplitude cresce linearmente em tempo no caso sem amortecimento).
Passo 5
Calcular
passo a passo e substituir na equação para determinar
e
.
- Escrevemos
explicitamente:
- Derivada primeira: aplicar regra do produto em cada termo.
- Derivando
: - derivada de
é , então contribui ; - derivada de
é , multiplicada por dá .
- derivada de
- Derivando
: - contribui
pela derivada de ; - derivada de
é , multiplicada por dá .
- contribui
- Somando,
- Derivando
- Derivada segunda: derivar
. É conveniente notar duas funções: -
, -
,
de modo que. - Derivando:
. - Mas
(verifique derivando explicitamente), então . - Calcular
: derivando ,
-
- Portanto
- Agora formar
. Observe que , então
Os termos com
cancelam, restando
Simplificando os fatores:
-
Esse resultado deve ser igual à forçante
. Igualando os coeficientes de e : - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
- Coeficiente de
-
Portanto a solução particular é
Pequena observação: podemos também escrever
, mas a forma fracionária costuma ser mais limpa.
Passo 6
Escrever a solução geral (completa) e aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
- A solução geral é soma de homogênea e particular:
- Aplicar
. Avaliando em : -
, , e o termo com é zero. Logo
-
- Precisamos de
para usar . Derivando : - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(já calculada no Passo 5) é . - Assim
- Derivada de
- Avaliando em
: -
, , e termos com desaparecem. Então
-
-
Como
temos . -
Substituindo
e na solução geral, obtemos a solução completa:
Comentário de incentivo: chegamos ao resultado completo! A resposta mostra o comportamento típico de ressonância não amortecida: um termo periódico (primeiro termo) mais um termo que cresce linearmente em amplitude (proporcional a
) multiplicado por
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)