3 Considere:

m=1 \mathrm{~kg}, \quad k=16 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \quad F(t)=3 \cos (4 t)
com condições iniciais x(0)=0,02 \mathrm{~m} e \dot{x}(0)=0. Determine:
a. A solução homogênea.
b. A solução particular.
c. A solução completa x(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • m=1\\ \mathrm{kg}
    • k=16\\ \mathrm{N/m}
    • F(t)=3\cos(4t)
    • Condições iniciais: x(0)=0,02\\ \mathrm{m} e \dot{x}(0)=0.
  • O que o enunciado pede:
    a. A solução homogênea (ou seja, a solução geral da equação homogênea associada).
    b. A solução particular (uma solução específica da equação forçada).
    c. A solução completa x(t) que satisfaça as condições iniciais.

Passo 2

Escrever a equação diferencial e explicar a estratégia de solução.
  • A equação do movimento (segunda ordem, coeficientes constantes) é, em geral,
m\ddot{x}+k x = F(t).
  • Substituindo m=1 e k=16 obtemos a equação que devemos resolver:
\ddot{x}+16x = 3\cos(4t).
Explicação didática curta: esta é uma equação linear não homogênea. A solução geral é soma de duas partes:
  • solução homogênea x_h(t) da equação \ddot{x}+16x=0;
  • solução particular x_p(t) da equação completa \ddot{x}+16x=3\cos(4t).
    Depois ajustamos constantes usando as condições iniciais.

Passo 3

Determinar a solução homogênea x_h(t).
  • Para a homogênea escrevemos a equação:
\ddot{x}+16x=0.
  • Montamos a equação característica associada substituindo \ddot{x} por r^2:
r^2+16=0.
  • Resolver r^2=-16
r=\pm 4\mathrm{i}.
  • Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega \mathrm{i} a solução homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \omega. Aqui \omega=4. Portanto
x_h(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t),
onde A e B são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
Breve comentário didático: a solução homogênea descreve as oscilações livres do sistema (sem forçamento). A frequência natural do sistema é \omega_n=\sqrt{k/m}=\sqrt{16/1}=4\\ \mathrm{rad/s}, e por isso aparecem \cos(4t) e \sin(4t).

Passo 4

Escolher a forma para a solução particular x_p(t) usando método dos coeficientes indeterminados e tratar o caso de ressonância.
  • O termo forçante é 3\cos(4t). Normalmente, se a forçante fosse \cos(4t) e 4 não fosse raiz da equação característica, tentaríamos um palpite do tipo C\cos(4t)+D\sin(4t).
  • Porém aqui a frequência da forçante 4 coincide com a frequência natural do sistema \omega_n=4. Esse é o caso de ressonância para um sistema sem amortecimento. Quando há coincidência com uma solução homogênea, é preciso multiplicar a tentativa por t para obter uma forma independente.
  • Logo escolhemos o palpite (tentativa) para a solução particular na forma
x_p(t)=t\big(C\cos(4t)+D\sin(4t)\big),
onde C e D são constantes a determinar.
Explicação intuitiva: multiplicar por t garante que a forma candidata não esteja contida no espaço das soluções homogêneas (evita redundância com x_h) e captura o crescimento típico da solução particular em ressonância (a amplitude cresce linearmente em tempo no caso sem amortecimento).

Passo 5

Calcular \ddot{x}_p passo a passo e substituir na equação para determinar C e D.
  • Escrevemos x_p(t) explicitamente:
x_p(t)=C t\cos(4t)+D t\sin(4t).
  • Derivada primeira: aplicar regra do produto em cada termo.
    • Derivando C t\cos(4t):
      • derivada de t é 1, então contribui C\cos(4t);
      • derivada de \cos(4t) é -4\sin(4t), multiplicada por Ct -4C t\sin(4t).
    • Derivando D t\sin(4t):
      • contribui D\sin(4t) pela derivada de t;
      • derivada de \sin(4t) é 4\cos(4t), multiplicada por Dt 4D t\cos(4t).
    • Somando,
\dot{x}_p(t)=\big(C\cos(4t)+D\sin(4t)\big)+t\big(-4C\sin(4t)+4D\cos(4t)\big).
  • Derivada segunda: derivar \dot{x}_p. É conveniente notar duas funções:
    • u(t)=C\cos(4t)+D\sin(4t),
    • w(t)=-4C\sin(4t)+4D\cos(4t),
      de modo que \dot{x}_p(t)=u(t)+t\,w(t).
    • Derivando: \ddot{x}_p(t)=u'(t)+w(t)+t\,w'(t).
    • Mas u'(t)=w(t) (verifique derivando explicitamente), então u'(t)+w(t)=2w(t).
    • Calcular w'(t): derivando w(t),
w'(t)=-16C\cos(4t)-16D\sin(4t)=-16u(t).
  • Portanto
\ddot{x}_p(t)=2w(t)+t\,w'(t)=2\big(-4C\sin(4t)+4D\cos(4t)\big)+t\big(-16u(t)\big).
  • Agora formar \ddot{x}_p+16x_p. Observe que x_p=t\,u(t), então
\ddot{x}_p+16x_p = \big[2(-4C\sin(4t)+4D\cos(4t)) -16t\,u(t)\big] +16t\,u(t).
Os termos com t\,u(t) cancelam, restando
\ddot{x}_p+16x_p = 2\big(-4C\sin(4t)+4D\cos(4t)\big).
Simplificando os fatores:
\ddot{x}_p+16x_p = -8C\sin(4t)+8D\cos(4t).
  • Esse resultado deve ser igual à forçante 3\cos(4t). Igualando os coeficientes de \cos(4t) e \sin(4t):
    • Coeficiente de \cos(4t): 8D = 3 \Rightarrow D=\tfrac{3}{8}.
    • Coeficiente de \sin(4t): -8C = 0 \Rightarrow C=0.
  • Portanto a solução particular é
x_p(t)=t\Big(0\cdot\cos(4t)+\tfrac{3}{8}\sin(4t)\Big)=\tfrac{3}{8}\,t\sin(4t).
Pequena observação: podemos também escrever \tfrac{3}{8}=0,375, mas a forma fracionária costuma ser mais limpa.

Passo 6

Escrever a solução geral (completa) e aplicar as condições iniciais para determinar A e B.
  • A solução geral é soma de homogênea e particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t)+\tfrac{3}{8}\,t\sin(4t).
  • Aplicar x(0)=0,02. Avaliando em t=0:
    • \cos(0)=1, \sin(0)=0, e o termo com t é zero. Logo
x(0)=A=0,02.
  • Precisamos de \dot{x}(t) para usar \dot{x}(0)=0. Derivando x(t):
    • Derivada de A\cos(4t) é -4A\sin(4t).
    • Derivada de B\sin(4t) é 4B\cos(4t).
    • Derivada de \tfrac{3}{8}t\sin(4t) (já calculada no Passo 5) é \tfrac{3}{8}\sin(4t)+\tfrac{3}{2}t\cos(4t).
    • Assim
\dot{x}(t)=-4A\sin(4t)+4B\cos(4t)+\tfrac{3}{8}\sin(4t)+\tfrac{3}{2}t\cos(4t).
  • Avaliando em t=0:
    • \sin(0)=0, \cos(0)=1, e termos com t desaparecem. Então
\dot{x}(0)=4B.
  • Como \dot{x}(0)=0 temos 4B=0\Rightarrow B=0.
  • Substituindo A=0,02 e B=0 na solução geral, obtemos a solução completa:
x(t)=0,02\cos(4t)+\tfrac{3}{8}\,t\sin(4t).
Comentário de incentivo: chegamos ao resultado completo! A resposta mostra o comportamento típico de ressonância não amortecida: um termo periódico (primeiro termo) mais um termo que cresce linearmente em amplitude (proporcional a t) multiplicado por \sin(4t).

Resposta

(a) x_h(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t)\n
(b) x_p(t)=\tfrac{3}{8}\,t\sin(4t)\n
(c) x(t)=0,02\cos(4t)+\tfrac{3}{8}\,t\sin(4t)

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