Em um sistema de amortecimento de um avião durante o pouso, a velocidade de aterrissagem é de 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a massa do avião é de 4 \times 10^{4} \mathrm{~kg}. Sabendo que o sistema de amortecimento é composto por uma mola que sofre uma deformação de 0,5 \mathrm{~m} durante o pouso, determine a constante elástica da mola necessária para parar o avião sem causar danos.
(A) 8,29 \times 10^{7} \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
(B) 3,2 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
(C) 6,4 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
(D) 6,4 \times 10^{7} \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
(E) 8,29 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de aterrissagem, a massa do avião e a deformação máxima da mola. O objetivo é achar a constante elástica k de modo que toda a energia cinética do avião seja absorvida pela mola sem danos. O conteúdo principal é conservação de energia entre energia cinética e potencial elástica.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade de \,72\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. Temos
v = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicamos conservação de energia: a energia cinética inicial
E_c = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2
deve ser igual à energia potencial armazenada na mola
E_p = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2,
onde m é a massa, v a velocidade e x a deformação da mola.

Passo 4

Igualando E_c = E_p e isolando k, obtemos
\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{m\,v^2}{x^2}.
Substituindo m = 4\times 10^4\\ \mathrm{kg}, v = 20\\ \mathrm{m/s} e x = 0{,}5\\ \mathrm{m},
k = \frac{4\times 10^4 \times (20)^2}{(0{,}5)^2} = \frac{4\times 10^4 \times 400}{0{,}25} = \frac{1{,}6\times 10^7}{0{,}25} = 6{,}4\times 10^7\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

(D) 6,4\times 10^7\\ \mathrm{N/m}

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