Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(a) 0 in Mn(R)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o equilíbrio na origem do sistema linear
dot x = A x
quando A é a matriz zero em Mn(R). O conteúdo é a teoria de estabilidade de equilíbrios de sistemas lineares, que usa os autovalores de A para decidir se a origem é estável, assintoticamente estável, instável, indiferente ou isolada.

Passo 2

Como A=0, todos os autovalores de A são zero. Logo, Re(lambdai)=0 para cada autovalor lambdai.

Passo 3

Pela teoria de sistemas lineares:
  • Se algum Re(lambdai)>0, seria instável.
  • Se todo Re(lambdai)<0, seria assintoticamente estável.
  • Se todo Re(lambdai)<=0 e existir algum com Re(lambdai)=0, é ao menos estável (Lyapunov), mas não assintoticamente estável. Esse caso chama-se indiferente (ou estabilidade neutra).
Aqui temos todos os Re(lambdai)=0, sem parte positiva, portanto a origem é estável (Lyapunov) mas não assintoticamente estável. É o caso de estabilidade indiferente.

Passo 4

Além disso, como dot x=0 implica que todo ponto x(0)=x0 é ponto de equilíbrio, a origem não é um ponto de equilíbrio isolado.

Resposta

A origem é estável (Lyapunov), de tipo indiferente, não assintoticamente estável e não isolada.

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