Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear
na origem, nos casos seguintes:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o equilíbrio na origem do sistema linear
quando
é a matriz zero em
. O conteúdo é a teoria de estabilidade de equilíbrios de sistemas lineares, que usa os autovalores de
para decidir se a origem é estável, assintoticamente estável, instável, indiferente ou isolada.
Passo 2
Como
, todos os autovalores de
são zero. Logo,
para cada autovalor
.
Passo 3
Pela teoria de sistemas lineares:
- Se algum
, seria instável. - Se todo
, seria assintoticamente estável. - Se todo
e existir algum com , é ao menos estável (Lyapunov), mas não assintoticamente estável. Esse caso chama-se indiferente (ou estabilidade neutra).
Aqui temos todos os
, sem parte positiva, portanto a origem é estável (Lyapunov) mas não assintoticamente estável. É o caso de estabilidade indiferente.
Passo 4
Além disso, como
implica que todo ponto
é ponto de equilíbrio, a origem não é um ponto de equilíbrio isolado.
Resposta
A origem é estável (Lyapunov), de tipo indiferente, não assintoticamente estável e não isolada.