Um sistema de comunicação digital tem uma probabilidade de erro de 0,01 por bit.
(a) Qual é a probabilidade de que o primeiro erro ocorra no décimo bit transmitido?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de bits até o primeiro erro. Interprete os resultados.
(a) Qual é a probabilidade de que o primeiro erro ocorra no décimo bit transmitido?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de bits até o primeiro erro. Interprete os resultados.
Passo 1
O enunciado dá a probabilidade de erro por bit igual a
. Pergunta-se:
- (a) Qual a probabilidade de que o primeiro erro ocorra exatamente no décimo bit transmitido?
- (b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de bits até o primeiro erro e interprete os resultados.
Informações relevantes:
- Probabilidade de “erro por bit” (que aqui trataremos como “sucesso” do experimento de interesse) é
. - Estamos interessados no número de bits até o primeiro erro (isto é, contamos 1, 2, 3, … até aparecer o primeiro erro).
Passo 2
Modelagem e fórmula básica (intuição didática).
Quando estamos contando quantos ensaios independentes são necessários até aparecer o primeiro “sucesso” (aqui: erro), a variável aleatória que descreve isso segue a distribuição geométrica (com suporte ). A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente no
-ésimo ensaio é
Quando estamos contando quantos ensaios independentes são necessários até aparecer o primeiro “sucesso” (aqui: erro), a variável aleatória que descreve isso segue a distribuição geométrica (com suporte
onde:
-
é o número de bits até o primeiro erro; -
é a probabilidade de erro em cada bit; -
é a probabilidade de falhar nos primeiros bits (ou seja, não ocorrer erro) e - multiplicamos por
pois o -ésimo bit tem que ser erro.
Essa fórmula é simples: “ficar sem erro”
vezes e depois “erro” uma vez.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao item (a) para
.
Substituindo e
na fórmula acima:
Substituindo
Agora calculamos numericamente
. Podemos fazer por potências sucessivas:
Portanto
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Cálculo do valor esperado
— explicação detalhada.
Fórmula conhecida (e que podemos demonstrar com somas infinitas) para a geométrica é
Fórmula conhecida (e que podemos demonstrar com somas infinitas) para a geométrica é
Para avaliar essa soma usamos a identidade de séries geométricas derivadas. Seja
. Conhecemos que
Multiplicando pelos factores
e trocando
obtemos
Interpretação simples: em média leva-se
ensaios até obter o primeiro sucesso. Intuitivamente, se a chance de erro é pequena, espera-se muitos bits antes do primeiro erro.
Passo 5
Valor esperado numérico para
.
Ou seja, em média espera-se o primeiro erro ao redor do bit de número
.
Passo 6
Cálculo da variância e do desvio padrão — derivação passo a passo.
Queremos . Primeiro calculamos
. Usamos a soma
Queremos
com
. Conhece-se a identidade
Multiplicando por
e substituindo
e
temos
Logo
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 7
Cálculo numérico da variância e do desvio padrão para
.
Primeiro a variância:
Primeiro a variância:
Agora o desvio padrão:
Passo 8
Interpretação dos resultados (linguagem simples e prática).
- (a) A probabilidade de que o primeiro erro apareça exatamente no décimo bit é cerca de
, ou seja, pouco menos de . Isso faz sentido: com por bit, a chance de evitar erro por 9 bits e ter erro no 10.º é pequena, mas não desprezível. - (b) O valor esperado
diz que, em média, espera-se ver o primeiro erro por volta do bit . O desvio padrão de aproximadamente mostra que há muita variação: às vezes o primeiro erro aparece muito antes (por exemplo, logo nos primeiros bits), às vezes bem depois do bit . A distribuição geométrica é assimétrica e “pesada” à direita, então a média sozinha não captura toda a incerteza — o grande desvio padrão indica essa variação alta.
Dica para prova: memorize as fórmulas básicas da geométrica (modo com suporte em
):
Com isso, aplicar a números é direto.
Resposta
(a)
(b)
(b)
(b)
(b)