Um sistema de comunicação digital tem uma probabilidade de erro de 0,01 por bit.
(a) Qual é a probabilidade de que o primeiro erro ocorra no décimo bit transmitido?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de bits até o primeiro erro. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a probabilidade de erro por bit igual a 0,01. Pergunta-se:
  • (a) Qual a probabilidade de que o primeiro erro ocorra exatamente no décimo bit transmitido?
  • (b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de bits até o primeiro erro e interprete os resultados.
Informações relevantes:
  • Probabilidade de “erro por bit” (que aqui trataremos como “sucesso” do experimento de interesse) é p=0,01.
  • Estamos interessados no número de bits até o primeiro erro (isto é, contamos 1, 2, 3, … até aparecer o primeiro erro).

Passo 2

Modelagem e fórmula básica (intuição didática).
Quando estamos contando quantos ensaios independentes são necessários até aparecer o primeiro “sucesso” (aqui: erro), a variável aleatória que descreve isso segue a distribuição geométrica (com suporte \{1,2,3,\dots\}). A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente no k-ésimo ensaio é
\Pr(N=k)=(1-p)^{k-1}p,
onde:
  • N é o número de bits até o primeiro erro;
  • p é a probabilidade de erro em cada bit;
  • (1-p)^{k-1} é a probabilidade de falhar nos primeiros k-1 bits (ou seja, não ocorrer erro) e
  • multiplicamos por p pois o k-ésimo bit tem que ser erro.
Essa fórmula é simples: “ficar sem erro” k-1 vezes e depois “erro” uma vez.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item (a) para k=10.
Substituindo p=0,01 e k=10 na fórmula acima:
\Pr(N=10)=(1-0,01)^{10-1}\cdot0,01=(0,99)^{9}\cdot0,01.
Agora calculamos numericamente (0,99)^9. Podemos fazer por potências sucessivas:
(0,99)^2=0,9801,\quad (0,99)^4=(0,9801)^2\approx0,96059601,
(0,99)^8\approx0,96059601^2\approx0,9227446944,\quad (0,99)^9\approx0,9227446944\cdot0,99\approx0,9135172475.
Portanto
\Pr(N=10)\approx0,9135172475\cdot0,01\approx0,0091351725.
Arredondando razoavelmente:
\Pr(N=10)\approx0,009135.

Passo 4

Cálculo do valor esperado E[N] — explicação detalhada.
Fórmula conhecida (e que podemos demonstrar com somas infinitas) para a geométrica é
E[N]=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p.
Para avaliar essa soma usamos a identidade de séries geométricas derivadas. Seja r=1-p. Conhecemos que
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^2}\quad\text{para }|r|<1.
Multiplicando pelos factores p e trocando r=1-p obtemos
E[N]=p\cdot\frac{1}{(1-(1-p))^2}=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}.
Interpretação simples: em média leva-se 1/p ensaios até obter o primeiro sucesso. Intuitivamente, se a chance de erro é pequena, espera-se muitos bits antes do primeiro erro.

Passo 5

Valor esperado numérico para p=0,01.
E[N]=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,01}=100.
Ou seja, em média espera-se o primeiro erro ao redor do bit de número 100.

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio padrão — derivação passo a passo.
Queremos \operatorname{Var}(N)=E[N^2]-\big(E[N]\big)^2. Primeiro calculamos E[N^2]. Usamos a soma
E[N^2]=\sum_{k=1}^{\infty} k^2 r^{k-1} p,
com r=1-p. Conhece-se a identidade
\sum_{k=1}^{\infty} k^2 r^{k-1}=\frac{1+r}{(1-r)^3}\quad\text{para }|r|<1.
Multiplicando por p e substituindo r=1-p e 1-r=p temos
E[N^2]=p\cdot\frac{1+(1-p)}{p^3}=p\cdot\frac{2-p}{p^3}=\frac{2-p}{p^2}.
Logo
\operatorname{Var}(N)=E[N^2]-\big(E[N]\big)^2=\frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_N=\sqrt{\operatorname{Var}(N)}=\frac{\sqrt{1-p}}{p}.

Passo 7

Cálculo numérico da variância e do desvio padrão para p=0,01.
Primeiro a variância:
\operatorname{Var}(N)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{1-0,01}{(0,01)^2}=\frac{0,99}{0,0001}=9900.
Agora o desvio padrão:
\sigma_N=\sqrt{9900}\approx99,4987437\approx99,50\\ \text{(arredondado)}.

Passo 8

Interpretação dos resultados (linguagem simples e prática).
  • (a) A probabilidade de que o primeiro erro apareça exatamente no décimo bit é cerca de 0,009135, ou seja, pouco menos de 0,92\%. Isso faz sentido: com p=1\% por bit, a chance de evitar erro por 9 bits e ter erro no 10.º é pequena, mas não desprezível.
  • (b) O valor esperado E[N]=100 diz que, em média, espera-se ver o primeiro erro por volta do bit 100. O desvio padrão de aproximadamente 99,5 mostra que há muita variação: às vezes o primeiro erro aparece muito antes (por exemplo, logo nos primeiros bits), às vezes bem depois do bit 100. A distribuição geométrica é assimétrica e “pesada” à direita, então a média sozinha não captura toda a incerteza — o grande desvio padrão indica essa variação alta.
Dica para prova: memorize as fórmulas básicas da geométrica (modo com suporte em \{1,2,\dots\}):
\Pr(N=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad E[N]=\frac{1}{p},\quad \operatorname{Var}(N)=\frac{1-p}{p^2}.
Com isso, aplicar a números é direto.

Resposta

(a) \Pr(N=10)=(0,99)^{9}\cdot0,01\approx0,009135.
(b) E[N]=\dfrac{1}{0,01}=100
(b) \sigma_N=\sqrt{\dfrac{1-0,01}{0,01^{2}}}=\sqrt{9900}\approx99,50

Exercícios relacionados