A probabilidade de uma lâmpada queimar em um dado dia é de 0,02 .
(a) Qual é a probabilidade de que a primeira lâmpada a queimar seja no quinto dia?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de dias até a primeira lâmpada queimar. Interprete os resultados no contexto.
(a) Qual é a probabilidade de que a primeira lâmpada a queimar seja no quinto dia?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de dias até a primeira lâmpada queimar. Interprete os resultados no contexto.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas:
- A probabilidade diária de uma lâmpada queimar é
. - Pergunta (a): qual é a probabilidade de que a primeira lâmpada a queimar ocorra exatamente no quinto dia?
- Pergunta (b): calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de dias até a primeira lâmpada queimar e interprete esses resultados no contexto.
Informações relevantes listadas:
- Probabilidade de sucesso (queimar) em cada dia:
. - Presume-se independência entre dias (cada dia é uma tentativa com mesmo
). - A variável aleatória de interesse
é “número de dias até a primeira lâmpada queimar” (contagem que inclui o dia em que ocorre a primeira queima).
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula para (a).
Quando contamos o número de tentativas até a primeira ocorrência de um evento com probabilidade constante
por tentativa, usamos a distribuição geométrica (na convenção que conta o número de tentativas até o primeiro sucesso, inclusive). Para essa distribuição vale a fórmula da probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente no dia
:
Explicando a fórmula:
-
é a probabilidade de falhar nos primeiros dias (cada dia com probabilidade de não queimar ), e -
é a probabilidade de queimar justamente no -ésimo dia.
Aquie queremos .
Passo 3
Cálculo numérico da probabilidade pedida no item (a).
Aplicando a fórmula com
e
:
Vamos calcular passo a passo sem pular etapas:
Arredondando razoavelmente:
, ou cerca de
.
Passo 4
Cálculo do valor esperado
(instrução didática de como obter a fórmula).
Definição útil: seja
. A esperança de uma variável geométrica (contando o número de tentativas até o primeiro sucesso) é
Para avaliar essa soma usamos uma identidade de séries. Considere a série geométrica
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Agora escolha
. Substituindo na expressão de
:
Mas
, portanto
Explicação em palavras: a soma pesada por
resulta numa relação simples que leva a
. É uma fórmula padrão e muito útil em provas.
Passo 5
Aplicando a fórmula do valor esperado ao caso numérico e interpretando.
Como
,
Interpretação no contexto: em média (esperança matemática), a primeira lâmpada queimar após
dias. Isso não garante que sempre acontecerá por volta de 50 dias, é uma média ao longo de muitas réplicas do experimento (muitas lâmpadas/observações).
Passo 6
Cálculo da variância e do desvio padrão (derivação Didática).
Queremos
. Uma forma prática é calcular
e usar
Começamos por calcular
:
Usamos novamente uma identidade de séries. A partir de
derivando mais uma vez em
obtemos
Multiplicando por
para deslocar potências:
Agora coloque
e multiplique por
:
Como
, isso vira
Logo
E, finalmente,
Simplificando em termos de
:
.
Passo 7
Cálculo numérico da variância e do desvio padrão e interpretação.
Com
e
,
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Arredondando:
dias.
Interpretação no contexto: embora a média seja
dias, o desvio padrão é também da ordem de
dias, indicando grande variabilidade. Na prática isso significa que, em experimentos repetidos, a distribuição do dia da primeira queima é muito dispersa: às vezes a lâmpada queima muito cedo, às vezes demora muito mais do que 50 dias. Em termos práticos, esperar exatamente 50 dias até a primeira queima tem incerteza grande — a média é uma medida central, mas os resultados individuais podem variar bastante.
Resposta
(a)
.
(b) dias;
dias.
(b)