A probabilidade de uma lâmpada queimar em um dado dia é de 0,02 .
(a) Qual é a probabilidade de que a primeira lâmpada a queimar seja no quinto dia?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de dias até a primeira lâmpada queimar. Interprete os resultados no contexto.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas:
  • A probabilidade diária de uma lâmpada queimar é p=0,02.
  • Pergunta (a): qual é a probabilidade de que a primeira lâmpada a queimar ocorra exatamente no quinto dia?
  • Pergunta (b): calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de dias até a primeira lâmpada queimar e interprete esses resultados no contexto.
Informações relevantes listadas:
  • Probabilidade de sucesso (queimar) em cada dia: p=0,02.
  • Presume-se independência entre dias (cada dia é uma tentativa com mesmo p).
  • A variável aleatória de interesse X é “número de dias até a primeira lâmpada queimar” (contagem que inclui o dia em que ocorre a primeira queima).

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula para (a).
Quando contamos o número de tentativas até a primeira ocorrência de um evento com probabilidade constante p por tentativa, usamos a distribuição geométrica (na convenção que conta o número de tentativas até o primeiro sucesso, inclusive). Para essa distribuição vale a fórmula da probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente no dia k:
P(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p.
Explicando a fórmula:
  • (1-p)^{k-1} é a probabilidade de falhar nos primeiros k-1 dias (cada dia com probabilidade de não queimar 1-p), e
  • p é a probabilidade de queimar justamente no k-ésimo dia.
    Aqui p=0,02 e queremos k=5.

Passo 3

Cálculo numérico da probabilidade pedida no item (a).
Aplicando a fórmula com p=0,02 e k=5:
P(X=5) = (1-0,02)^{5-1}\cdot 0,02 = 0,98^{4}\cdot 0,02.
Vamos calcular passo a passo sem pular etapas:
0,98^{2}=0,98\times0,98=0,9604,
0,98^{4}=(0,98^{2})^{2}=0,9604^{2}=0,92236816,
P(X=5)=0,92236816\times0,02=0,0184473632.
Arredondando razoavelmente: P(X=5)\approx0,01845, ou cerca de 1{,}845\%.

Passo 4

Cálculo do valor esperado E[X] (instrução didática de como obter a fórmula).
Definição útil: seja q=1-p. A esperança de uma variável geométrica (contando o número de tentativas até o primeiro sucesso) é
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k\,p\,q^{\,k-1}.
Para avaliar essa soma usamos uma identidade de séries. Considere a série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}\quad\text{para }|r|<1.
Derivando ambos os lados em relação a r obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{\,k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Agora escolha r=q. Substituindo na expressão de E[X]:
E[X]=p\cdot\sum_{k=1}^{\infty} k\,q^{\,k-1}=p\cdot\frac{1}{(1-q)^{2}}.
Mas 1-q=p, portanto
E[X]=p\cdot\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}.
Explicação em palavras: a soma pesada por k resulta numa relação simples que leva a E[X]=1/p. É uma fórmula padrão e muito útil em provas.

Passo 5

Aplicando a fórmula do valor esperado ao caso numérico e interpretando.
Como p=0,02,
E[X]=\frac{1}{0,02}=\frac{1}{2/100}=50.
Interpretação no contexto: em média (esperança matemática), a primeira lâmpada queimar após 50 dias. Isso não garante que sempre acontecerá por volta de 50 dias, é uma média ao longo de muitas réplicas do experimento (muitas lâmpadas/observações).

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio padrão (derivação Didática).
Queremos \operatorname{Var}(X). Uma forma prática é calcular E[X(X-1)] e usar
E[X^{2}]=E[X(X-1)]+E[X], \qquad \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\big(E[X]\big)^{2}.
Começamos por calcular E[X(X-1)]:
E[X(X-1)]=\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)\,p\,q^{\,k-1}.
Usamos novamente uma identidade de séries. A partir de
\sum_{k=1}^{\infty} k\,r^{\,k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}},
derivando mais uma vez em r obtemos
\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)\,r^{\,k-2}=\frac{2}{(1-r)^{3}}.
Multiplicando por r para deslocar potências:
\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)\,r^{\,k-1}=\frac{2r}{(1-r)^{3}}.
Agora coloque r=q e multiplique por p:
E[X(X-1)]=p\cdot\frac{2q}{(1-q)^{3}}.
Como 1-q=p, isso vira
E[X(X-1)]=p\cdot\frac{2q}{p^{3}}=\frac{2q}{p^{2}}.
Logo
E[X^{2}]=E[X(X-1)]+E[X]=\frac{2q}{p^{2}}+\frac{1}{p}=\frac{2q+p}{p^{2}}.
E, finalmente,
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\big(E[X]\big)^{2} =\frac{2q+p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-q}{p^{2}}=\frac{q}{p^{2}}.
Simplificando em termos de p: \operatorname{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^{2}}.

Passo 7

Cálculo numérico da variância e do desvio padrão e interpretação.
Com p=0,02 e q=1-p=0,98,
\operatorname{Var}(X)=\frac{0,98}{(0,02)^{2}}=\frac{0,98}{0,0004}=2450.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{X}=\sqrt{2450}\approx49,497.
Arredondando: \sigma_{X}\approx49,50 dias.
Interpretação no contexto: embora a média seja 50 dias, o desvio padrão é também da ordem de 50 dias, indicando grande variabilidade. Na prática isso significa que, em experimentos repetidos, a distribuição do dia da primeira queima é muito dispersa: às vezes a lâmpada queima muito cedo, às vezes demora muito mais do que 50 dias. Em termos práticos, esperar exatamente 50 dias até a primeira queima tem incerteza grande — a média é uma medida central, mas os resultados individuais podem variar bastante.

Resposta

(a) P(X=5)=0,98^{4}\cdot0,02\approx0,018447\approx0,01845.
(b) E[X]=\dfrac{1}{0,02}=50 dias; \sigma_{X}=\sqrt{\dfrac{1-0,02}{0,02^{2}}}\approx49,50 dias.

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