Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de leituras defeituosas. Interprete os resultados no contexto.
Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de leituras defeituosas. Interprete os resultados no contexto.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro):
- Informação dada:
- Probabilidade de uma leitura ser defeituosa:
. - Número de leituras realizadas:
.
- Probabilidade de uma leitura ser defeituosa:
- Perguntas:
- Calcular o valor esperado do número de leituras defeituosas.
- Calcular o desvio padrão do número de leituras defeituosas.
- Interpretar os resultados no contexto (ou seja, dizer o que esses números significam para o sensor/registro).
Passo 2
Decidir qual modelo matemático usar (sem complicar): quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades (defeituosa ou não) e mesma probabilidade
de “sucesso” (aqui sucesso = leitura defeituosa), o número de sucessos segue uma distribuição binomial. Então modelamos o número de leituras defeituosas por uma variável aleatória
com
onde:
-
é o número de tentativas (aqui leituras), ; -
é a probabilidade de cada tentativa ser defeituosa, .
Passo 3
Fórmulas importantes (e por que elas valem):
- O valor esperado (média) de uma binomial é
Explicação: cada tentativa tem contribuição média
para o total de defeitos; somando
contribuições independentes obtemos
.
- A variância de uma binomial é
Explicação:
é a variância de uma única tentativa (Bernoulli) e somando
independentes obtemos
.
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Calcular o valor esperado usando a fórmula:
Fazendo a conta:
Logo,
Passo 5
Calcular a variância usando a fórmula:
Primeiro calcule
:
Agora
Portanto,
Passo 6
Calcular o desvio padrão como raiz da variância:
Para aproximar
sem mágica de calculadora, observa-se que
e
. Como
está entre esses quadrados e mais próximo de
, a raiz ficará entre
e
, mais perto de
. Uma aproximação razoável é
(uma avaliação mais precisa dá
, que arredondamos para duas casas decimais como
).
Passo 7
Interpretação no contexto (a parte prática, sem jargão):
- O valor esperado
significa que, em média, em cada bloco de leituras espera-se ter cerca de leituras defeituosas. Na linguagem do dia a dia: se o sensor fizer muitos grupos de 12 leituras, a média de defeitos por grupo será aproximadamente — ou seja, tipicamente cerca de 2 leituras defeituosas por 12 leituras. - O desvio padrão
mede a variabilidade em torno dessa média. Isso diz que o número de leituras defeituosas costuma variar tipicamente cerca de unidades em torno de . Em termos práticos: - É comum ver números de defeitos próximos de 0, 1, 2 ou 3 — cair dentro da faixa
(aproximadamente entre e ) é bem plausível. - Se em um lote de 12 leituras aparecerem, por exemplo, 6 leituras defeituosas, isso seria bastante fora do esperado (muito acima da média) e seria sinal de que algo pode estar errado no sensor ou no processo.
- É comum ver números de defeitos próximos de 0, 1, 2 ou 3 — cair dentro da faixa
- Resumindo de forma encorajadora: espera-se pouco mais de uma leitura defeituosa por conjunto de 12; a variabilidade não é enorme (desvio padrão cerca de 1,2), então grandes surpresas não são esperadas com frequência — se ocorrerem, vale investigar.