Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de leituras defeituosas. Interprete os resultados no contexto.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro):
  • Informação dada:
    • Probabilidade de uma leitura ser defeituosa: p=0,15.
    • Número de leituras realizadas: n=12.
  • Perguntas:
    • Calcular o valor esperado do número de leituras defeituosas.
    • Calcular o desvio padrão do número de leituras defeituosas.
    • Interpretar os resultados no contexto (ou seja, dizer o que esses números significam para o sensor/registro).

Passo 2

Decidir qual modelo matemático usar (sem complicar): quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades (defeituosa ou não) e mesma probabilidade p de “sucesso” (aqui sucesso = leitura defeituosa), o número de sucessos segue uma distribuição binomial. Então modelamos o número de leituras defeituosas por uma variável aleatória X com
X \sim \mathrm{Binomial}(n,p)
onde:
  • n é o número de tentativas (aqui leituras), n=12;
  • p é a probabilidade de cada tentativa ser defeituosa, p=0,15.

Passo 3

Fórmulas importantes (e por que elas valem):
  • O valor esperado (média) de uma binomial é
\mathbb{E}[X]=n p.
Explicação: cada tentativa tem contribuição média p para o total de defeitos; somando n contribuições independentes obtemos n p.
  • A variância de uma binomial é
\operatorname{Var}(X)=n p (1-p).
Explicação: p(1-p) é a variância de uma única tentativa (Bernoulli) e somando n independentes obtemos n p(1-p).
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{n p (1-p)}.

Passo 4

Calcular o valor esperado usando a fórmula:
\mathbb{E}[X]=n p = 12\cdot 0,15.
Fazendo a conta:
12\cdot 0,15 = 12\cdot \frac{15}{100} = \frac{180}{100} = 1,8.
Logo,
\mathbb{E}[X]=1,8.

Passo 5

Calcular a variância usando a fórmula:
\operatorname{Var}(X)=n p (1-p)=12\cdot 0,15\cdot(1-0,15).
Primeiro calcule 1-p:
1-0,15=0,85.
Agora
12\cdot 0,15\cdot 0,85 = 12\cdot 0,1275 = 1,53.
Portanto,
\operatorname{Var}(X)=1,53.

Passo 6

Calcular o desvio padrão como raiz da variância:
\sigma_X=\sqrt{1,53}.
Para aproximar \sqrt{1,53} sem mágica de calculadora, observa-se que 1,2^2=1,44 e 1,3^2=1,69. Como 1,53 está entre esses quadrados e mais próximo de 1,44, a raiz ficará entre 1,2 e 1,3, mais perto de 1,2. Uma aproximação razoável é
\sigma_X\approx 1,24
(uma avaliação mais precisa dá \sqrt{1,53}\approx 1,2369\ldots, que arredondamos para duas casas decimais como 1,24).

Passo 7

Interpretação no contexto (a parte prática, sem jargão):
  • O valor esperado \mathbb{E}[X]=1,8 significa que, em média, em cada bloco de 12 leituras espera-se ter cerca de 1{,}8 leituras defeituosas. Na linguagem do dia a dia: se o sensor fizer muitos grupos de 12 leituras, a média de defeitos por grupo será aproximadamente 1{,}8 — ou seja, tipicamente cerca de 2 leituras defeituosas por 12 leituras.
  • O desvio padrão \sigma_X\approx 1,24 mede a variabilidade em torno dessa média. Isso diz que o número de leituras defeituosas costuma variar tipicamente cerca de 1{,}24 unidades em torno de 1{,}8. Em termos práticos:
    • É comum ver números de defeitos próximos de 0, 1, 2 ou 3 — cair dentro da faixa 1{,}8\pm 1{,}24 (aproximadamente entre 0,6 e 3,0) é bem plausível.
    • Se em um lote de 12 leituras aparecerem, por exemplo, 6 leituras defeituosas, isso seria bastante fora do esperado (muito acima da média) e seria sinal de que algo pode estar errado no sensor ou no processo.
  • Resumindo de forma encorajadora: espera-se pouco mais de uma leitura defeituosa por conjunto de 12; a variabilidade não é enorme (desvio padrão cerca de 1,2), então grandes surpresas não são esperadas com frequência — se ocorrerem, vale investigar.

Resposta

\mathbb{E}[X]=1,8
\sigma_X\approx 1,24

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