Um sistema consiste em N partículas muito fracamente interagentes a uma temperatura T suficientemente alta para que a mecânica estatística clássica seja aplicável. Cada partícula tem massa m e é livre para realizar oscilaçōes unidimensionais em torno de sua posiçāo de equilíbrio. Calcule a capacidade calorífica desse sistema de partículas nesta temperatura em cada um dos seguintes casos:
A força restauradora é proporcional a x^{3}.

Passo 1

O enunciado descreve N partículas independentes que oscilam em 1-D sob uma força restauradora F\propto x^3. A temperatura é alta, logo usamos mecânica estatística clássica. Precisamos achar a capacidade calorífica C=\frac{d\langle E\rangle}{dT}.

Passo 2

Para cada partícula o Hamiltoniano é
H = \frac{p^2}{2m} + \alpha\,x^4,
onde \alpha é a constante tal que F=-\frac{dV}{dx}=-4\alpha x^3. A função partição clássica fatoriza em momento e posição:
Z = Z_p\,Z_x \quad\text{com}\quad Z_p = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p^2}{2m}}\,dp, \; Z_x = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \,\alpha x^4}\,dx,
onde \beta = 1/(k_B T).

Passo 3

Calculemos primeiro a energia cinética média usando
\langle K\rangle = -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_p.
Como
Z_p = \sqrt{\frac{2\pi m}{\beta}},
temos
\ln Z_p = \tfrac12\ln(2\pi m) \;-\;\tfrac12\ln\beta \quad\Longrightarrow\quad \langle K\rangle = \frac{1}{2\beta} = \frac{1}{2}\,k_B T.

Passo 4

Agora a energia de potencial média via
\langle V\rangle = -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_x.
Sabemos que
Z_x \propto (\beta\alpha)^{-1/4} \quad\Longrightarrow\quad \ln Z_x = -\tfrac14\ln(\beta\alpha) + \text{const},
logo
\langle V\rangle = \frac{1}{4\beta} = \frac{1}{4}\,k_B T.

Passo 5

A energia média por oscilador é
\langle E\rangle = \langle K\rangle + \langle V\rangle = \Bigl(\tfrac12 + \tfrac14\Bigr)k_B T = \tfrac34\,k_B T.
A capacidade calorífica de uma partícula é
c = \frac{d\langle E\rangle}{dT} = \tfrac34\,k_B,
logo para N partículas
C = N\,c = \tfrac{3}{4}\,N\,k_B.

Resposta

C = \frac{3}{4}\,N\,k_B.

Exercícios relacionados