Um sistema consiste em N partículas muito fracamente interagentes a uma temperatura T suficientemente alta para que a mecânica estatística clássica seja aplicável. Cada partícula tem massa m e é livre para realizar oscilaçōes unidimensionais em torno de sua posiçāo de equilíbrio. Calcule a capacidade calorífica desse sistema de partículas nesta temperatura em cada um dos seguintes casos:
A força efetiva de restauraçāo em cada partícula para sua posiçāo de equilíbrio é proporcional ao seu deslocamento x em relaçāo a essa posiçāo.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema clássico de N partículas independentes, cada uma comportando-se como um oscilador harmonico unidimensional de massa m e constante efetiva de mola k, à temperatura T. Queremos a capacidade calorífica C desse sistema em regime clássico. Para isso vamos usar o Teorema da Equipartição de Energia, que diz que cada termo quadrático no Hamiltoniano contribui com \tfrac12k_{B}T à energia média.

Passo 2

O Hamiltoniano de um único oscilador é
H(p,x)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac12\,k\,x^{2}.
Há dois graus de liberdade quadráticos ( p^{2} e x^{2}), logo, pela equipartição, a energia média de um oscilador vale
U_{1}=\frac12k_{B}T+\frac12k_{B}T=k_{B}T.

Passo 3

Como as partículas são independentes, a energia interna total do sistema é
U=N\,U_{1}=N\,k_{B}T.
A capacidade calorífica à temperatura constante é
C=\frac{\partial U}{\partial T} =\frac{\partial}{\partial T}\bigl(N\,k_{B}T\bigr) =N\,k_{B}.

Resposta

A capacidade calorífica do sistema é
C = N\,k_{B}.

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