Villate-7-3: O potencial elétrico a uma certa distância de uma carga pontual é 600 V (arbitrando potencial nulo no infinito) e o valor do campo elétrico é 200 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Calcule a distância e o valor da carga.

Passo 1

Dados do enunciado:
V=600\\ \mathrm{V}\\ (\text{potencial elétrico, tomando }V(\infty)=0)é
E=200\\ \mathrm{N/C}\\ (\text{módulo do campo elétrico})óé
O que o problema pede:
  • Calcular a distância \,r entre a carga pontual e o ponto onde esses valores foram medidos.
  • Calcular o valor da carga \,q.

Passo 2

Fórmulas fundamentais para uma carga puntiforme (explicação didática leve):
A expressão do potencial elétrico criado por uma carga puntual, tomando o potencial nulo no infinito, é
V=k\frac{q}{r}
onde:
  • \,V é o potencial elétrico em volts ( \mathrm{V}),
  • \,k é a constante eletrostática (Coulomb), \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
  • \,q é a carga elétrica em coulombs ( \mathrm{C}),
  • \,r é a distância entre a carga e o ponto, em metros ( \mathrm{m}).
A expressão do módulo do campo elétrico produzido por uma carga puntual é
E=k\frac{q}{r^{2}}
onde \,E tem unidades de \mathrm{N/C}. Intuição rápida: o potencial decai como 1/r e o campo como a derivada do potencial, caindo como 1/r^{2}.

Passo 3

Eliminação inteligente de incógnitas: dividir as duas equações para cancelar \,q e \,k. Fazendo \dfrac{V}{E} obtemos
\frac{V}{E}=\frac{k\frac{q}{r}}{k\frac{q}{r^{2}}}=\frac{r^{2}}{r}=r.
Portanto, a distância pode ser obtida diretamente por
r=\frac{V}{E}.

Passo 4

Cálculo numérico da distância usando a relação anterior:
r=\frac{V}{E}=\frac{600}{200}=3\\ \mathrm{m}.
Comentário: unidades batem porque \mathrm{V}/(\mathrm{N/C})=(\mathrm{J/C})/(\mathrm{N/C})=\mathrm{J}/\mathrm{N}=\mathrm{m}.

Passo 5

Agora encontramos a carga \,q. Partimos da fórmula do campo e resolvemos para \,q:
E=k\frac{q}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad q=\frac{E\,r^{2}}{k}.
Aqui explico cada termo de novo: \,E e \,r já sabemos; \,k usamos a aproximação usual \,k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} para facilitar contas sem calculadora.

Passo 6

Substituindo os valores (mostrando as contas passo a passo para fazer sem calculadora):
r^{2}=3^{2}=9.
E\,r^{2}=200\times9=1800.
q=\frac{1800}{9{,}0\times10^{9}}=\frac{1800}{9{,}0}\times10^{-9}=200\times10^{-9}=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Portanto \,q=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}. Observação sobre o sinal: como o potencial dado é positivo (com referência no infinito), a carga é positiva.

Passo 7

Verificação rápida (checagem para não errar): calcular de volta V e E usando os resultados:
V=k\frac{q}{r}=9{,}0\times10^{9}\times\frac{2{,}0\times10^{-7}}{3}=600\\ \mathrm{V},
E=k\frac{q}{r^{2}}=9{,}0\times10^{9}\times\frac{2{,}0\times10^{-7}}{9}=200\\ \mathrm{N/C}.
Confere com o enunciado — ótimo!

Passo 8

Dica prática para prova (curta e útil): quando te derem V e E de uma mesma carga puntiforme, calcule primeiro \,r=V/E. Isso evita trabalhar com duas incógnitas ao mesmo tempo e economiza tempo e erro.

Resposta

r=3\\ \mathrm{m}
q=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}

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