Um sistema contínuo no tempo é regido pela seguinte expressão
y(t)=12 integral-infty^infty x(tau)(de
O sistema é causal? Justifique.

Passo 1

Beleza, a questão nos dá um sistema contínuo no tempo descrito por
y(t)=12integral-infty^inftyx(tau)l(de
e pergunta: “Esse sistema é causal?”
O conteúdo é: convolução com deltas e definição de causalidade. Vamos precisar lembrar que
  1. integral x(tau),de;
  2. integral x(tau),de;
  3. um sistema é causal se, para cada t0, y(t0) depende só de x(tau) para tau<= t0.

Passo 2

Vamos usar as propriedades dos deltas para simplificar o integral. Separamos:
y(t)=12l[integral x(tau),de
Pelo item 1, a primeira integral vira x(t). Pelo item 2, a segunda vira x(-t). Então
y(t)=12l[x(t)-x(-t)r]

Passo 3

Agora, para ver causalidade, olhamos quem entra na jogada no instante t. Temos dois termos:
  • x(t) que é “legal” (depende de tau=t, não fura o limite);
  • x(-t) que, quando t<0, implica -t>0, ou seja, y(t) depende de x em um instante maior que t.
Isso já quebra a definição de causalidade: em instantes negativos, o sistema “olha” pra um futuro (pois -t>t se t<0).

Resposta

O sistema não é causal, porque o termo x(-t) faz o valor de saída em t depender de entradas em tempos maiores que t.

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