Um sistema contínuo no tempo é regido pela seguinte expressão
O sistema é causal? Justifique.
Passo 1
Beleza, a questão nos dá um sistema contínuo no tempo descrito por
e pergunta: “Esse sistema é causal?”
O conteúdo é: convolução com deltas e definição de causalidade. Vamos precisar lembrar que
O conteúdo é: convolução com deltas e definição de causalidade. Vamos precisar lembrar que
-
; -
; - um sistema é causal se, para cada
, depende só de para .
Passo 2
Vamos usar as propriedades dos deltas para simplificar o integral. Separamos:
Pelo item 1, a primeira integral vira
. Pelo item 2, a segunda vira
. Então
Passo 3
Agora, para ver causalidade, olhamos quem entra na jogada no instante
. Temos dois termos:
-
que é “legal” (depende de , não fura o limite); -
que, quando , implica , ou seja, depende de em um instante maior que .
Isso já quebra a definição de causalidade: em instantes negativos, o sistema “olha” pra um futuro (pois
se
).
Resposta
O sistema não é causal, porque o termo
faz o valor de saída em
depender de entradas em tempos maiores que
.