O sistema regido pela expressão
É variante ou invariante no tempo? Justifique.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos um sistema dado por
O que ele quer saber é se esse sistema é invariante ou variante no tempo. Isso faz parte de Sinais e Sistemas, mais especificamente da propriedade de “invariância temporal”. Para resolver, vamos precisar da definição de invariância no tempo e das regras básicas de derivação: derivada da soma, derivada de
e a regra da cadeia para
.
Passo 2
Primeiro, a definição de invariância no tempo:
Se a gente aplica ao sistema um sinal atrasado e obtém
, e isso for igual a atrasar a saída original
em
, ou seja,
Se a gente aplica ao sistema um sinal atrasado
então o sistema é invariante no tempo.
Passo 3
Vamos achar
. Por definição,
Para isso, usamos:
- derivada de soma:
, - derivada de
dá 1, - regra da cadeia em
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Logo
Passo 4
Agora calculo
: é atrasar a saída original em
. Como já vimos que
basta trocar
por
:
Passo 5
Comparando:
Eles são iguais para qualquer
. Isso mostra que atrasar a entrada resulta exatamente no atraso da saída, sem mudar mais nada.
Resposta
O sistema é invariante no tempo.