O sistema regido pela expressão
y(t)=d^2(x(t)+t)d t^2:
É variante ou invariante no tempo? Justifique.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um sistema dado por
y(t);=;d^2dt^2l(x(t)+tr)
O que ele quer saber é se esse sistema é invariante ou variante no tempo. Isso faz parte de Sinais e Sistemas, mais especificamente da propriedade de “invariância temporal”. Para resolver, vamos precisar da definição de invariância no tempo e das regras básicas de derivação: derivada da soma, derivada de e a regra da cadeia para .

Passo 2

Primeiro, a definição de invariância no tempo:
Se a gente aplica ao sistema um sinal atrasado y1(t);=;Tx(t-t0)stackrel?= y(t-t0), e obtém , e isso for igual a atrasar a saída original em , ou seja,
então o sistema é invariante no tempo.

Passo 3

Vamos achar y1(t) =d^2dt^2l(x(t-t0)+tr) . Por definição,
ddtl[x(t-t0)+tr] =x'(t-t0)cdotddt(t-t0);+;1 =x'(t-t0)cdot1;+;1 =x'(t-t0)+1
Para isso, usamos:
  1. derivada de soma: d^2dt^2l[x(t-t0)+tr] =ddtl(x'(t-t0)+1r) =x''(t-t0)cdot1;+;0 =x''(t-t0) ,
  2. derivada de y1(t)=x''(t-t0) dá 1,
  3. regra da cadeia em .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
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Passo 4

Agora calculo y(t)=d^2dt^2[,x(t)+t,]=x''(t)+0, : é atrasar a saída original em y(t-t0)=x''l(t-t0r) . Como já vimos que
basta trocar por :

Passo 5

Comparando:
y1(t)=x''(t-t0) e y(t-t0)=x''(t-t0)
Eles são iguais para qualquer . Isso mostra que atrasar a entrada resulta exatamente no atraso da saída, sem mudar mais nada.

Resposta

O sistema é invariante no tempo.

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