O sistema regido pela expressão
y[n]=2 x[n] u[n]+x[n] u[n-1]
é linear ou não? Justifique.

Passo 1

Então, a questão diz o seguinte: temos um sistema descrito pela equação
y[n] = 2,x[n],u[n] + x[n],u[n-1]
e perguntam se ele é linear ou não.
Conteúdo da matéria: sistemas lineares (em sinais e sistemas discretos).
O que vamos precisar:
  • Saber o que é um sistema linear (princípio da superposição: aditividade + homogeneidade).
  • Testar o sistema com combinações de dois sinais de entrada para ver se a saída obedece esses princípios.

Passo 2

Teoria de linearidade:
  1. Aditividade: se eu entrar com e gerar , e com gerar , então para a soma de entradas a saída tem de ser .
  2. Homogeneidade (ou escala): se eu multiplicar a entrada por uma constante , ou seja, usar , a saída tem de ficar .
    Se os dois princípios valem, o sistema é linear.

Passo 3

Agora aplica isso ao nosso sistema. Seja uma primeira entrada y1[n] = 2,x1[n],u[n] + x1[n],u[n-1] com saída
y2[n] = 2,x2[n],u[n] + x2[n],u[n-1]
E uma segunda entrada y[n] = 2,(x1[n] + x2[n]),u[n] + (x1[n] + x2[n]),u[n-1] com saída
y[n] = l(2,x1[n],u[n] + x1[n],u[n-1]r) ;+; l(2,x2[n],u[n] + x2[n],u[n-1]r) = y1[n] + y2[n]
  1. Aditividade: entra y[n] = 2,(a,x1[n]),u[n] + (a,x1[n]),u[n-1] = a,(2,x1[n],u[n] + x1[n],u[n-1]) = a,y1[n] . A saída será
Distribuindo:
Então aditividade vale.
  1. Homogeneidade: toma a entrada . A saída é
Logo, homogeneidade também vale.
Como aditividade e homogeneidade são satisfeitas, o sistema é linear.

Resposta

O sistema é linear.

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