Para que valores de K os polinômios são estáveis
Passo 1
O problema pede: para quais valores de
o polinômio
é estável (isto é, todos os polos com parte real negativa).\n
Informações dadas (extraídas do enunciado):\n
,
,
,
,
.\n
Objetivo claro: determinar todos os tais que todas as raízes tenham parte real negativa.
Informações dadas (extraídas do enunciado):\n
Objetivo claro: determinar todos os
Passo 2
Vou usar o critério de Routh–Hurwitz (não vou ficar chamando de teorema longo: é só a tabela de Routh). Ideia principal (explicando devagar): montamos a tabela de Routh e exigimos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos — isso é equivalente a não ter raízes com parte real não negativa. A tabela para um polinômio de grau 4 tem as linhas
.
Organizando as primeiras duas linhas com os coeficientes (primeira linha pega os coeficientes de grau par decrescentes, segunda os ímpares):
Agora vou calcular cada entrada nova usando a regra de Routh (vou mostrar as contas passo a passo).]
Passo 3
Cálculo da linha
:
A primeira entrada da linha
(chamei de
) é obtida pela fórmula
Explicando: multiplicamos o primeiro elemento da linha acima (3) pelo segundo elemento da linha de cima à esquerda (3) e subtraímos o produto do primeiro elemento da linha de cima à esquerda (1) pelo segundo elemento da linha seguinte (K-2), tudo dividido pelo primeiro elemento da linha superior (3). Agora calculando:
A segunda entrada da linha
(chamei de
) é
Portanto a linha
é
Passo 4
Cálculo da linha
:
A primeira entrada da linha
(chamei de
) é obtida por
Explicando a fórmula: é análoga ao passo anterior, usando como “linha superior” a linha
e como “linha de cima” a
. Agora simplifico passo a passo. Primeiro multiplico e coloco sobre um denominador comum:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar a divisão por fração, fica
Agora expandindo:
Subtraindo:
Portanto
Posso multiplicar numerador e denominador por
para ficar mais claro:
A última linha
é simplesmente
Passo 5
Condições de estabilidade pelo critério de Routh: todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. A primeira coluna é, em ordem:
Logo as desigualdades necessárias são
e
Precisamos estudar a última desigualdade. Observe a expressão do numerador:
É um quadrático com discriminante
logo o numerador é sempre positivo para todo
. Assim o sinal da fração depende só do denominador
. Portanto
Agora juntamos as condições:
Isso é uma contradição — não existe
que satisfaça ambas simultaneamente. Além disso precisamos de
, mas isso não resolve o conflito entre
e
.
Passo 6
Falta tratar o caso singular
(onde a entrada
da linha
fica zero). Colocando
no polinômio obtemos
Na tabela de Routh, a entrada
fica zero. Regra prática: quando o primeiro elemento de uma linha é zero (mas a linha não é toda zero), substituímos por um
pequeno e seguimos; fazendo isso a entrada seguinte da primeira coluna (a de
) tende a
quando
, ou seja, ela é negativa imediatamente. Portanto
também não produz todas entradas positivas (é instável/marginalmente instável). Em resumo, não existe resgate aqui.
Passo 7
Conclusão lógica: não há valor real de
que satisfaça simultaneamente todas as condições do critério de Routh; portanto não existe
para o qual o polinômio seja estável (todas as raízes com parte real negativa).
Resposta
Não existe valor real de
que torne o polinômio estável.