Para que valores de K os polinômios são estáveis
s^{4}+3 s^{3}+3 s^{2}+(K-2) s+K+3

Passo 1

O problema pede: para quais valores de K o polinômio
s^{4}+3 s^{3}+3 s^{2}+(K-2) s+K+3
é estável (isto é, todos os polos com parte real negativa).\n
Informações dadas (extraídas do enunciado):\n
\; \,a_4=1, \,a_3=3, \,a_2=3, \,a_1=K-2, \,a_0=K+3.\n
Objetivo claro: determinar todos os K\in\mathbb{R} tais que todas as raízes tenham parte real negativa.

Passo 2

Vou usar o critério de Routh–Hurwitz (não vou ficar chamando de teorema longo: é só a tabela de Routh). Ideia principal (explicando devagar): montamos a tabela de Routh e exigimos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos — isso é equivalente a não ter raízes com parte real não negativa. A tabela para um polinômio de grau 4 tem as linhas s^4,s^3,s^2,s^1,s^0.
Organizando as primeiras duas linhas com os coeficientes (primeira linha pega os coeficientes de grau par decrescentes, segunda os ímpares):
\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 3 & K+3\\[4pt] s^3 & 3 & K-2 & 0\\[4pt] s^2 & \text{(a)} & \text{(b)} & \\[4pt] s^1 & \text{\text{(c)}} & 0 & \\[4pt] s^0 & K+3 & & \end{array}
Agora vou calcular cada entrada nova usando a regra de Routh (vou mostrar as contas passo a passo).]

Passo 3

Cálculo da linha s^2:
A primeira entrada da linha s^2 (chamei de \text{(a)}) é obtida pela fórmula
\text{(a)}=\frac{3\cdot 3 - 1\cdot (K-2)}{3}.
Explicando: multiplicamos o primeiro elemento da linha acima (3) pelo segundo elemento da linha de cima à esquerda (3) e subtraímos o produto do primeiro elemento da linha de cima à esquerda (1) pelo segundo elemento da linha seguinte (K-2), tudo dividido pelo primeiro elemento da linha superior (3). Agora calculando:
\text{(a)}=\frac{9 - (K-2)}{3}=\frac{11-K}{3}.
A segunda entrada da linha s^2 (chamei de \text{(b)}) é
\text{(b)}=\frac{3\cdot (K+3) - 1\cdot 0}{3}=\frac{3K+9}{3}=K+3.
Portanto a linha s^2 é
s^2:\quad \frac{11-K}{3}\quad\quad K+3.

Passo 4

Cálculo da linha s^1:
A primeira entrada da linha s^1 (chamei de \text{\text{(c)}}) é obtida por
\text{\text{(c)}}=\frac{\left(\frac{11-K}{3}\right)\cdot (K-2) - 3\cdot (K+3)}{\frac{11-K}{3}}.
Explicando a fórmula: é análoga ao passo anterior, usando como “linha superior” a linha s^2 e como “linha de cima” a s^3. Agora simplifico passo a passo. Primeiro multiplico e coloco sobre um denominador comum:
\text{\text{(c)}}=\frac{\dfrac{(11-K)(K-2)}{3} - 3(K+3)}{\dfrac{11-K}{3}}.
Multiplicando numerador e denominador por 3 para simplificar a divisão por fração, fica
\text{\text{(c)}}=\frac{(11-K)(K-2) - 9(K+3)}{11-K}.
Agora expandindo:
(11-K)(K-2)= -K^{2}+13K-22,
9(K+3)=9K+27.
Subtraindo:
(11-K)(K-2)-9(K+3) = -K^{2}+13K-22 -9K -27 = -K^{2}+4K-49.
Portanto
\text{\text{(c)}}=\frac{-K^{2}+4K-49}{11-K}.
Posso multiplicar numerador e denominador por -1 para ficar mais claro:
\text{\text{(c)}}=\frac{K^{2}-4K+49}{K-11}.
A última linha s^0 é simplesmente
s^0:\quad K+3.

Passo 5

Condições de estabilidade pelo critério de Routh: todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. A primeira coluna é, em ordem:
1,\quad 3,\quad \frac{11-K}{3},\quad \frac{K^{2}-4K+49}{K-11},\quad K+3.
Logo as desigualdades necessárias são
1>0\quad(\text{sempre verdadeira}),\qquad 3>0\quad(\text{sempre}),
\frac{11-K}{3}>0 \quad\Rightarrow\quad K<11,
K+3>0 \quad\Rightarrow\quad K>-3,
e
\frac{K^{2}-4K+49}{K-11}>0.
Precisamos estudar a última desigualdade. Observe a expressão do numerador:
K^{2}-4K+49.
É um quadrático com discriminante
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 49 = 16-196 = -180<0,
logo o numerador é sempre positivo para todo K\in\mathbb{R}. Assim o sinal da fração depende só do denominador K-11. Portanto
\frac{K^{2}-4K+49}{K-11}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad K-11>0 \quad\Longleftrightarrow\quad K>11.
Agora juntamos as condições:
K<11\quad\text{(da linha }s^2\text{)}\quad\text{e}\quad K>11\quad\text{(da linha }s^1\text{)}.
Isso é uma contradição — não existe K que satisfaça ambas simultaneamente. Além disso precisamos de K>-3, mas isso não resolve o conflito entre K<11 e K>11.

Passo 6

Falta tratar o caso singular K=11 (onde a entrada \frac{11-K}{3} da linha s^2 fica zero). Colocando K=11 no polinômio obtemos
s^{4}+3s^{3}+3s^{2}+9s+14.
Na tabela de Routh, a entrada \frac{11-K}{3} fica zero. Regra prática: quando o primeiro elemento de uma linha é zero (mas a linha não é toda zero), substituímos por um \varepsilon>0 pequeno e seguimos; fazendo isso a entrada seguinte da primeira coluna (a de s^1) tende a -\infty quando \varepsilon\to 0^+, ou seja, ela é negativa imediatamente. Portanto K=11 também não produz todas entradas positivas (é instável/marginalmente instável). Em resumo, não existe resgate aqui.

Passo 7

Conclusão lógica: não há valor real de K que satisfaça simultaneamente todas as condições do critério de Routh; portanto não existe K\in\mathbb{R} para o qual o polinômio seja estável (todas as raízes com parte real negativa).

Resposta

Não existe valor real de K que torne o polinômio estável.

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