Questão 08: Um sistema apresenta uma função de transferência em malha aberta, \mathrm{G}(\mathrm{s}), com realimentação unitária, negativa e entrada degrau unitário. Responda os seguintes itens:
G(s)=\frac{20}{s(s+2)}
c) Dado que é desejado que o sistema em malha fechada apresente \mathrm{Mp}=10 \% e \mathrm{Ts}=3 seg, é possível com o uso do controlador proporcional, o sistema atingir essa dinâmica desejada? Justifique a sua resposta utilizando o LGR!
d) Escolha um controlador apropriado e faça o seu projeto pelo método do LGR. Explique a escolha do controlador.
e) Com o controlador projetado, verifique se a dinâmica desejada foi atendida.

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência em malha aberta com realimentação unitária negativa e entrada degrau unitário:
G(s)=\frac{20}{s(s+2)}
As perguntas são:
c) Verificar se, usando apenas um controlador proporcional, é possível alcançar a dinâmica desejada em malha fechada com \mathrm{Mp}=10\% e \mathrm{T_s}=3 s, e justificar usando o LGR (Linha de Lugar das Raízes).
d) Escolher um controlador apropriado e projetá‑lo pelo método do LGR, explicando a escolha.
e) Com o controlador projetado, verificar se a dinâmica desejada foi atendida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Planta em malha aberta: \displaystyle G(s)=\frac{20}{s(s+2)}.
  • Realimentação unitária negativa.
  • Desejo de especificações de tempo: \mathrm{Mp}=10\% (overshoot máximo) e \mathrm{T_s}=3 s (tempo de acomodação).
  • Tipo de controller a testar inicialmente: controlador proporcional (ganho K).
    A partir daqui vamos calcular as quantidades necessárias (razão de amortecimento, pulsação natural desejada e posições dos polos desejados) e analisar o que um ganho proporcional pode (ou não) fazer no LGR.

Passo 2

Primeiro precisamos traduzir \mathrm{Mp}=10\% e \mathrm{T_s}=3 s para parâmetros de pólo dominante ( \zeta e \omega_n) da segunda ordem aproximada. Vou explicar as fórmulas e de onde vem cada termo.
Definições e fórmulas usadas:
  • \mathrm{Mp} (overshoot percentual) está relacionado com o coeficiente de amortecimento \zeta por
\mathrm{Mp} = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
Aqui \mathrm{Mp} é fracionário (por ex. 10\% = 0{,}10). Essa fórmula vem da resposta ao impulso/degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido.
  • O tempo de acomodação (critério de 2\%) para um segundo‑ordem é aproximado por
\mathrm{T_s}\approx \frac{4}{\zeta \omega_n},
onde \omega_n é a pulsação natural. Essa aproximação é padrão e útil para projetar a velocidade do sistema.
Agora calculamos \zeta a partir de \mathrm{Mp}=0{,}10. Resolveremos a equação acima:
0{,}10 = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
Tomando logaritmo:
\ln(0{,}10) = -\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}.
Resolvendo numericamente obtemos
\zeta \approx 0{,}5906.
(Expliquei a transformação para log; o cálculo numérico é direto: \ln 0{,}1\approx -2{,}3026, daí isolamos \zeta.)
Agora \omega_n a partir de \mathrm{T_s}=3 s usando \mathrm{T_s}\approx 4/(\zeta\omega_n):
\omega_n \approx \frac{4}{\zeta \,\mathrm{T_s}} = \frac{4}{0{,}5906\cdot 3}\approx 2{,}258\\ \text{rad/s}.
Com \zeta e \omega_n obtemos os polos desejados (pares complexos conjugados):
s_{d} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Calculando as partes real e imaginária:
\text{Parte real } = -\zeta\omega_n \approx -1{,}333,
\text{Parte imaginária } = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \approx 1{,}822.á
Portanto os polos desejados são aproximadamente
s_{d}\approx -1{,}333 \pm j\,1{,}822.
Esses são os alvos no plano s que queremos que o LGR atravesse para satisfazer \mathrm{Mp}=10\% e \mathrm{T_s}=3 s.

Passo 3

Análise do caso com controlador proporcional (parte c). Vou mostrar passo a passo por que um ganho proporcional puro não consegue colocar os polos em s_d.
Com controlador proporcional K, a função em malha aberta fica
L(s)=K\,G(s)=K\cdot\frac{20}{s(s+2)}=\frac{20K}{s(s+2)}.
A equação característica de malha fechada é
1+L(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s(s+2)+20K=0.
Expandindo:
s^2 + 2s + 20K = 0.
Esse polinômio é de segunda ordem e os coeficientes dependem de K somente no termo constante. Observe algo importante: o coeficiente do termo s é fixo e igual a 2, independente de K. Em termos de soma dos polos (pelo teorema das raízes de um polinômio), para um polinômio s^2 + a_1 s + a_0 a soma das raízes é -a_1. Aqui:
\text{soma das raízes} = -2.í
Já para os polos desejados s_d a soma é
s_1 + s_2 = 2\cdot(-1{,}333) = -2{,}666.
Como a soma das raízes em malha fechada com controlador proporcional é sempre -2 (independente de K), não é possível obter uma soma -2{,}666. Portanto não há valor de K que gere exatamente os polos desejados s_d.
Outra forma rápida de ver: comparar o polinômio desejado (com raízes s_d) com o polinômio real de malha fechada sob ganho proporcional. O polinômio desejado, obtido de (s-s_1)(s-s_2)=0, é
s^2 + 2{,}666 s + 5{,}099 \approx 0,
cujo coeficiente de s é 2{,}666, diferente de 2. Como o controlador proporcional só altera o termo constante do polinômio, ele não consegue ajustar o coeficiente de s para o valor que a especificação exige.
Conclusão (resposta à parte c): com controlador proporcional puro NÃO é possível atingir simultaneamente \mathrm{Mp}=10\% e \mathrm{T_s}=3 s. Isso fica claro pela forma do polinômio s^2+2s+20K: o coeficiente do termo s está fixo em 2, enquanto o especificado requer 2{,}666.

Passo 4

Escolha do controlador (parte d) — justificativa didática e intuitiva.
Observações importantes para escolher o tipo de controlador:
  • A planta G(s)=20/[s(s+2)] é do tipo 1 (possui um integrador em s=0), logo para entrada degrau a condição de erro em regime permanente já é nula com realimentação unitária; portanto não precisamos de ação integral para corrigir erro em regime permanente.
  • As especificações exigem mudança no amortecimento e velocidade (posições dos polos dominantes). Um controlador que adiciona um zero ao lugar das raízes e que pode alterar o coeficiente do termo s é adequado. Um controlador proporcional com zero não existe; um controlador que introduz um zero é do tipo proporcional‑derivativo (PD) ou um compensador em avanço (lead).
  • Um PD (forma simples C(s)=K(s+z)) adiciona um zero real e mantém a ordem do sistema em 2 (já que a planta tem ordem 2 e o compensador PD tem ordem 1 no numerador), permitindo obter um polinômio quadrático ajustável nos dois coeficientes s e termo constante. Além disso, PD melhora resposta transitória (aumenta amortecimento possível) sem prejudicar o erro de regime (não remove o integrador da planta).
Por esses motivos escolhemos um controlador PD simples:
C(s)=K(s+z),
onde K>0 é o ganho e z>0 posiciona o zero em s=-z. Em termos de implementação prática, esse PD pode ser escrito como
C(s)=K_d s + K_p,
com K_d = K e K_p = K z.
Agora projetamos K e z pelo método do LGR, de forma direta e didática: vamos fazer com que a equação característica resultante seja exatamente o polinômio desejado que tem raízes em s_d.

Passo 5

Projeto matemático do PD por comparação de polinômios (continuação do passo d).
Com C(s)=K(s+z), a malha aberta fica
L(s)=C(s)G(s)=K(s+z)\cdot\frac{20}{s(s+2)}=\frac{20K(s+z)}{s(s+2)}.
A equação característica é
1+L(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s(s+2)+20K(s+z)=0.
Expandindo:
s^2 + 2s + 20K s + 20K z = 0.
Reagrupando termos:
s^2 + (2 + 20K) s + 20K z = 0.
Queremos que esse polinômio coincida com o polinômio desejado obtido a partir dos polos s_d. O polinômio desejado (com raízes s_d) é
s^2 + 2{,}666\,s + 5{,}099 \approx 0.
Agora igualamos coeficientes termo a termo:
  1. Coeficiente de s:
2 + 20K = 2{,}666 \quad\Longrightarrow\quad 20K = 0{,}666 \quad\Longrightarrow\quad K = 0{,}03333\ldots
  1. Termo constante:
20K z = 5{,}099 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{5{,}099}{20K}.
Substituindo 20K=0{,}666\ldots:
z \approx \frac{5{,}099}{0{,}6666\ldots}\approx 7{,}6485.
Portanto o controlador projetado em forma K(s+z) é aproximadamente
C(s)=0{,}03333\,(s+7{,}6485).
Escrevendo no formato PD C(s)=K_d s + K_p:
K_d = 0{,}03333,\qquad K_p = 0{,}03333\times 7{,}6485 \approx 0{,}25495.
Logo uma implementação prática é
C(s)\approx 0{,}03333\,s + 0{,}25495.
Interpretação: escolhemos um PD porque adiciona um zero real que permite ajustar simultaneamente os coeficientes do termo em s e do termo constante do polinômio de malha fechada, coisa que o ganho proporcional não consegue. O zero está em s=-7{,}6485, bem à esquerda no plano s, o que modifica a geometria do LGR de forma a posicionar os polos dominantes onde queremos.

Passo 6

Verificação (parte e): garantir que com o controlador projetado a dinâmica desejada é atendida.
Com os valores projetados (K\approx 0{,}03333,\; z\approx 7{,}6485) a equação característica é exatamente a que igualamos:
s^2 + 2{,}666\,s + 5{,}099 = 0,
cuja solução são os polos
s = -1{,}333 \pm j\,1{,}822,
ou seja exatamente os polos desejados s_d.
Dado que os polos dominantes coincidem com os calculados a partir de \zeta e \omega_n, as especificações transitórias também são satisfeitas pelas fórmulas padrão:
  • \mathrm{Mp}=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\approx 10\%,
  • \mathrm{T_s}\approx 4/(\zeta\omega_n)\approx 3 s.
Portanto o controlador projetado atende às especificações desejadas de \mathrm{Mp} e \mathrm{T_s}.
Observações finais práticas:
  • Esse projeto assumiu que os polos dominantes determinam a resposta em regime transitório (boa aproximação se demais polos estiverem suficientemente à esquerda). No nosso caso a planta + controlador produzem exatamente um polinômio de segunda ordem, então não há polos residuais inesperados.
  • Em implementação real, o termo derivativo puro pode ser substituído por um derivador com filtro para evitar amplificação de ruído; o projeto contínuo acima fornece os ganhos alvo K_d e K_p para implementação com filtro derivativo se desejado.

Resposta

c) Não — com controlador proporcional puro não é possível atingir simultaneamente \mathrm{Mp}=10\% e \mathrm{T_s}=3 s, porque o coeficiente do termo s em s^2+2s+20K fica fixo em 2 enquanto a especificação exige 2{,}666.
d) Controlador escolhido: PD com
C(s)=K(s+z)\approx 0{,}03333\,(s+7{,}6485),
ou seja K_d\approx 0{,}03333 e K_p\approx 0{,}25495.
e) Sim — com o controlador projetado os polos fechados ficam em s\approx -1{,}333\pm j\,1{,}822, logo \mathrm{Mp}\approx 10\% e \mathrm{T_s}\approx 3 s, atendendo as especificações.

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