Questão 08: Um sistema apresenta uma função de transferência em malha aberta,
, com realimentação unitária, negativa e entrada degrau unitário. Responda os seguintes itens:
c) Dado que é desejado que o sistema em malha fechada apresente
e
seg, é possível com o uso do controlador proporcional, o sistema atingir essa dinâmica desejada? Justifique a sua resposta utilizando o LGR!
d) Escolha um controlador apropriado e faça o seu projeto pelo método do LGR. Explique a escolha do controlador.
e) Com o controlador projetado, verifique se a dinâmica desejada foi atendida.
d) Escolha um controlador apropriado e faça o seu projeto pelo método do LGR. Explique a escolha do controlador.
e) Com o controlador projetado, verifique se a dinâmica desejada foi atendida.
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência em malha aberta com realimentação unitária negativa e entrada degrau unitário:
As perguntas são:
c) Verificar se, usando apenas um controlador proporcional, é possível alcançar a dinâmica desejada em malha fechada com e
s, e justificar usando o LGR (Linha de Lugar das Raízes).
d) Escolher um controlador apropriado e projetá‑lo pelo método do LGR, explicando a escolha.
e) Com o controlador projetado, verificar se a dinâmica desejada foi atendida.
c) Verificar se, usando apenas um controlador proporcional, é possível alcançar a dinâmica desejada em malha fechada com
d) Escolher um controlador apropriado e projetá‑lo pelo método do LGR, explicando a escolha.
e) Com o controlador projetado, verificar se a dinâmica desejada foi atendida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Planta em malha aberta:
. - Realimentação unitária negativa.
- Desejo de especificações de tempo:
(overshoot máximo) e s (tempo de acomodação). - Tipo de controller a testar inicialmente: controlador proporcional (ganho
).
A partir daqui vamos calcular as quantidades necessárias (razão de amortecimento, pulsação natural desejada e posições dos polos desejados) e analisar o que um ganho proporcional pode (ou não) fazer no LGR.
Passo 2
Primeiro precisamos traduzir
e
s para parâmetros de pólo dominante (
e
) da segunda ordem aproximada. Vou explicar as fórmulas e de onde vem cada termo.
Definições e fórmulas usadas:
-
(overshoot percentual) está relacionado com o coeficiente de amortecimento por
Aqui
é fracionário (por ex.
=
). Essa fórmula vem da resposta ao impulso/degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido.
- O tempo de acomodação (critério de
) para um segundo‑ordem é aproximado por
onde
é a pulsação natural. Essa aproximação é padrão e útil para projetar a velocidade do sistema.
Agora calculamos
a partir de
. Resolveremos a equação acima:
Tomando logaritmo:
Resolvendo numericamente obtemos
(Expliquei a transformação para log; o cálculo numérico é direto:
, daí isolamos
.)
Agora
a partir de
s usando
:
Com
e
obtemos os polos desejados (pares complexos conjugados):
Calculando as partes real e imaginária:
Portanto os polos desejados são aproximadamente
Esses são os alvos no plano s que queremos que o LGR atravesse para satisfazer
e
s.
Passo 3
Análise do caso com controlador proporcional (parte c). Vou mostrar passo a passo por que um ganho proporcional puro não consegue colocar os polos em
.
Com controlador proporcional
, a função em malha aberta fica
A equação característica de malha fechada é
Expandindo:
Esse polinômio é de segunda ordem e os coeficientes dependem de
somente no termo constante. Observe algo importante: o coeficiente do termo
é fixo e igual a
, independente de
. Em termos de soma dos polos (pelo teorema das raízes de um polinômio), para um polinômio
a soma das raízes é
. Aqui:
Já para os polos desejados
a soma é
Como a soma das raízes em malha fechada com controlador proporcional é sempre
(independente de
), não é possível obter uma soma
. Portanto não há valor de
que gere exatamente os polos desejados
.
Outra forma rápida de ver: comparar o polinômio desejado (com raízes
) com o polinômio real de malha fechada sob ganho proporcional. O polinômio desejado, obtido de
, é
cujo coeficiente de
é
, diferente de
. Como o controlador proporcional só altera o termo constante do polinômio, ele não consegue ajustar o coeficiente de
para o valor que a especificação exige.
Conclusão (resposta à parte c): com controlador proporcional puro NÃO é possível atingir simultaneamente
e
s. Isso fica claro pela forma do polinômio
: o coeficiente do termo
está fixo em
, enquanto o especificado requer
.
Passo 4
Escolha do controlador (parte d) — justificativa didática e intuitiva.
Observações importantes para escolher o tipo de controlador:
- A planta
é do tipo 1 (possui um integrador em ), logo para entrada degrau a condição de erro em regime permanente já é nula com realimentação unitária; portanto não precisamos de ação integral para corrigir erro em regime permanente. - As especificações exigem mudança no amortecimento e velocidade (posições dos polos dominantes). Um controlador que adiciona um zero ao lugar das raízes e que pode alterar o coeficiente do termo
é adequado. Um controlador proporcional com zero não existe; um controlador que introduz um zero é do tipo proporcional‑derivativo (PD) ou um compensador em avanço (lead). - Um PD (forma simples
) adiciona um zero real e mantém a ordem do sistema em 2 (já que a planta tem ordem 2 e o compensador PD tem ordem 1 no numerador), permitindo obter um polinômio quadrático ajustável nos dois coeficientes e termo constante. Além disso, PD melhora resposta transitória (aumenta amortecimento possível) sem prejudicar o erro de regime (não remove o integrador da planta).
Por esses motivos escolhemos um controlador PD simples:
onde
é o ganho e
posiciona o zero em
. Em termos de implementação prática, esse PD pode ser escrito como
com
e
.
Agora projetamos
e
pelo método do LGR, de forma direta e didática: vamos fazer com que a equação característica resultante seja exatamente o polinômio desejado que tem raízes em
.
Passo 5
Projeto matemático do PD por comparação de polinômios (continuação do passo d).
Com
, a malha aberta fica
A equação característica é
Expandindo:
Reagrupando termos:
Queremos que esse polinômio coincida com o polinômio desejado obtido a partir dos polos
. O polinômio desejado (com raízes
) é
Agora igualamos coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Substituindo
:
Portanto o controlador projetado em forma
é aproximadamente
Escrevendo no formato PD
:
Logo uma implementação prática é
Interpretação: escolhemos um PD porque adiciona um zero real que permite ajustar simultaneamente os coeficientes do termo em
e do termo constante do polinômio de malha fechada, coisa que o ganho proporcional não consegue. O zero está em
, bem à esquerda no plano s, o que modifica a geometria do LGR de forma a posicionar os polos dominantes onde queremos.
Passo 6
Verificação (parte e): garantir que com o controlador projetado a dinâmica desejada é atendida.
Com os valores projetados
a equação característica é exatamente a que igualamos:
cuja solução são os polos
ou seja exatamente os polos desejados
.
Dado que os polos dominantes coincidem com os calculados a partir de
e
, as especificações transitórias também são satisfeitas pelas fórmulas padrão:
-
, -
s.
Portanto o controlador projetado atende às especificações desejadas de
e
.
Observações finais práticas:
- Esse projeto assumiu que os polos dominantes determinam a resposta em regime transitório (boa aproximação se demais polos estiverem suficientemente à esquerda). No nosso caso a planta + controlador produzem exatamente um polinômio de segunda ordem, então não há polos residuais inesperados.
- Em implementação real, o termo derivativo puro pode ser substituído por um derivador com filtro para evitar amplificação de ruído; o projeto contínuo acima fornece os ganhos alvo
e para implementação com filtro derivativo se desejado.
Resposta
c) Não — com controlador proporcional puro não é possível atingir simultaneamente
e
s, porque o coeficiente do termo
em
fica fixo em
enquanto a especificação exige
.
d) Controlador escolhido: PD com
d) Controlador escolhido: PD com
ou seja
e
.
e) Sim — com o controlador projetado os polos fechados ficam em , logo
e
s, atendendo as especificações.
e) Sim — com o controlador projetado os polos fechados ficam em