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Como são representadas uma única direção e uma família de direções cristalográficas?
Como são representadas uma única direção e uma família de direções cristalográficas?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas claras:
- Como se representa uma única direção cristalográfica?
- Como se representa uma família de direções cristalográficas?
Não há dados numéricos no enunciado — só é pedido o formato/notaçăo usada. Vou explicar o significado da notação, como obter os índices a partir de um vetor (passo a passo) e dar exemplos práticos e dicas para a prova.
Passo 2
Representação de uma única direção — ideia e notação:
- Uma única direção cristalográfica é indicada por colchetes:
. - Aqui
, e são inteiros (podem ser negativos) que representam as componentes da direção em relação aos vetores de rede fundamentais , , . - Formalmente, uma direção pode ser escrita como
- Regras práticas para obter
a partir de um vetor: - Expressar o vetor em coordenadas de rede (coeficientes na base
); por exemplo com racionais. - Se algum
for fracionário, multiplicar todos por um mesmo fator para transformar em inteiros. - Simplificar (dividir por qualquer fator comum) para obter o menor conjunto inteiro relativo.
- Escrever com colchetes:
. Índices negativos são indicados com barra superior (ex.: ) ou notação equivalente; em LaTeX costuma-se escrever .
- Expressar o vetor em coordenadas de rede (coeficientes na base
- Observação: os índices
definem uma direção e qualquer múltiplo escalar representa a mesma direção; por isso reduz-se aos inteiros mínimos.
Passo 3
Exemplos práticos (para fixar a técnica):
- Exemplo 1: vetor que vai de um nó do retículo até o ponto
. - Coeficientes já são inteiros:
. - Então a direção é
. (Usei para indicar .)
- Coeficientes já são inteiros:
- Exemplo 2: vetor com componentes racionais,
. - Coeficientes:
. - Multiplica-se tudo por
para obter inteiros . - Simplificar (aqui já está simples) e escrever:
.
- Coeficientes:
- Exemplo 3: vetor
. - Multiplicar por
→ . Direção: . - Se houvesse fator comum (por ex.
), dividir por para ficar .
- Multiplicar por
Passo 4
Como indicar índices negativos e observação sobre simplificação:
- Índices negativos são escritos com barra superior: por exemplo
significa componentes . - Sempre reduzir os três números ao menor inteiro relativo (sem fator comum) — na prova isso evita respostas alternativas equivalentes.
- A ordem
segue os eixos de rede respectivamente.
Passo 5
Representação de uma família de direções — ideia e notação:
- Uma família de direções (conjunto de direções equivalentes por simetrias da rede) é indicada por colchetes angulares:
. -
significa “todos os vetores que são equivalentes por operações de simetria da rede cristalina” (reflexões, rotações, trocas de eixos, etc.), dependendo do sistema cristalino. - Exemplo em rede cúbica:
inclui Ou seja, todos os eixos cristalográficos equivalentes ao eixo . - Em redes não-cúbicas a definição de equivalência depende das simetrias dessa rede (mas a notação
permanece a mesma).
Passo 6
Contrastando com planos (para não confundir na prova) e dicas rápidas:
- Não confundir:
- direção única:
, - família de direções:
, - plano único:
, - família de planos:
.
- direção única:
- Dicas para a prova:
- Ao converter vetor para índices, faça em três passos: expressar nas bases
→ limpar frações → simplificar. - Use a notação de barra para negativos:
. - Se o cristal for cúbico, muitas famílias ficam visivelmente fáceis de listar (ex.:
tem 8 membros com sinais todas combinações permutadas com mesmo módulo).
- Ao converter vetor para índices, faça em três passos: expressar nas bases
Resposta
Uma única direção é representada por
.
Uma família de direções é representada por .
Uma família de direções é representada por