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Como são representadas uma única direção e uma família de direções cristalográficas?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  • Como se representa uma única direção cristalográfica?
  • Como se representa uma família de direções cristalográficas?
Não há dados numéricos no enunciado — só é pedido o formato/notaçăo usada. Vou explicar o significado da notação, como obter os índices a partir de um vetor (passo a passo) e dar exemplos práticos e dicas para a prova.

Passo 2

Representação de uma única direção — ideia e notação:
  • Uma única direção cristalográfica é indicada por colchetes: [u\,v\,w].
  • Aqui u, v e w são inteiros (podem ser negativos) que representam as componentes da direção em relação aos vetores de rede fundamentais \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}.
  • Formalmente, uma direção pode ser escrita como
\mathbf{r}=u\,\mathbf{a}+v\,\mathbf{b}+w\,\mathbf{c}.
  • Regras práticas para obter [u\,v\,w] a partir de um vetor:
    1. Expressar o vetor em coordenadas de rede (coeficientes na base \{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\}); por exemplo \mathbf{r}=x_a\,\mathbf{a}+x_b\,\mathbf{b}+x_c\,\mathbf{c} com x_a,x_b,x_c racionais.
    2. Se algum x for fracionário, multiplicar todos por um mesmo fator para transformar em inteiros.
    3. Simplificar (dividir por qualquer fator comum) para obter o menor conjunto inteiro relativo.
    4. Escrever com colchetes: [u\,v\,w]. Índices negativos são indicados com barra superior (ex.: \bar{1}) ou notação equivalente; em LaTeX costuma-se escrever \bar{1}.
  • Observação: os índices [u\,v\,w] definem uma direção e qualquer múltiplo escalar representa a mesma direção; por isso reduz-se aos inteiros mínimos.

Passo 3

Exemplos práticos (para fixar a técnica):
  • Exemplo 1: vetor que vai de um nó do retículo até o ponto 2\mathbf{a}-\mathbf{b}+0\mathbf{c}.
    • Coeficientes já são inteiros: x_a=2,\;x_b=-1,\;x_c=0.
    • Então a direção é [2\,\bar{1}\,0]. (Usei \bar{1} para indicar -1.)
  • Exemplo 2: vetor com componentes racionais, \mathbf{r}=\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+0\mathbf{c}.
    • Coeficientes: x_a=\tfrac{1}{2},\;x_b=\tfrac{1}{2},\;x_c=0.
    • Multiplica-se tudo por 2 para obter inteiros 1,1,0.
    • Simplificar (aqui já está simples) e escrever: [1\,1\,0].
  • Exemplo 3: vetor \mathbf{r}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}.
    • Multiplicar por 3 2,1,0. Direção: [2\,1\,0].
    • Se houvesse fator comum (por ex. 2,2,0), dividir por 2 para ficar [1\,1\,0].

Passo 4

Como indicar índices negativos e observação sobre simplificação:
  • Índices negativos são escritos com barra superior: por exemplo [1\,\bar{2}\,0] significa componentes +1,-2,0.
  • Sempre reduzir os três números ao menor inteiro relativo (sem fator comum) — na prova isso evita respostas alternativas equivalentes.
  • A ordem u,v,w segue os eixos de rede \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} respectivamente.

Passo 5

Representação de uma família de direções — ideia e notação:
  • Uma família de direções (conjunto de direções equivalentes por simetrias da rede) é indicada por colchetes angulares: \langle u\,v\,w\rangle.
  • \langle u\,v\,w\rangle significa “todos os vetores que são equivalentes por operações de simetria da rede cristalina” (reflexões, rotações, trocas de eixos, etc.), dependendo do sistema cristalino.
  • Exemplo em rede cúbica: \langle 100\rangle inclui [100],\;[\bar{1}00],\;[010],\;[0\bar{1}0],\;[001],\;[00\bar{1}].Ou seja, todos os eixos cristalográficos equivalentes ao eixo a.
  • Em redes não-cúbicas a definição de equivalência depende das simetrias dessa rede (mas a notação \langle\rangle permanece a mesma).

Passo 6

Contrastando com planos (para não confundir na prova) e dicas rápidas:
  • Não confundir:
    • direção única: [u\,v\,w],
    • família de direções: \langle u\,v\,w\rangle,
    • plano único: (h\,k\,l),
    • família de planos: \{h\,k\,l\}.
  • Dicas para a prova:
    • Ao converter vetor para índices, faça em três passos: expressar nas bases \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} → limpar frações → simplificar.
    • Use a notação de barra para negativos: \bar{1},\bar{2}.
    • Se o cristal for cúbico, muitas famílias ficam visivelmente fáceis de listar (ex.: \langle 111\rangle tem 8 membros com sinais todas combinações permutadas com mesmo módulo).

Resposta

Uma única direção é representada por [u\,v\,w].
Uma família de direções é representada por \langle u\,v\,w\rangle.

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