. Considerando 2 átomos idênticos ligados por um potencial de Lennard-Jones, encontre a frequência angular \omega_{0} para pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável.
e diz que há dois átomos idênticos ligados por esse potencial. O que é pedido:
Encontrar a frequência angular de pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável, chamada aqui de \omega_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
U_{0} e x_{0} são constantes positivas do potencial.
Existem dois átomos idênticos, cada um com massa m (isso é a hipótese implícita ao dizer “átomos idênticos”; usaremos m para essa massa).
A variável x representa a separação entre os dois átomos.
Nada mais será assumido; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Encontrar o ponto de equilíbrio estável: para isso calculamos a derivada do potencial e igualamos a zero. É útil definir y=\dfrac{x}{x_{0}} para simplificar as contas. Então
As condições de equilíbrio são \dfrac{dU}{dx}=0. Da expressão acima as soluções são y=0 ou y^{6}=1. A solução fisicamente relevante (separação não nula e positiva) é
y=1\quad\Longrightarrow\quad x_{\text{eq}}=x_{0}.
Esse é o mínimo do potencial (ponto de equilíbrio estável) porque, como veremos ao calcular a segunda derivada, a curvatura é positiva em x=x_{0}.
Passo 3
Calcular a segunda derivada do potencial para obter a curvatura em torno do mínimo (essa curvatura é o “constante elástica” efetiva k do oscilador harmônico aproximado). Diferenciando novamente a expressão de \dfrac{dU}{dx} ou diretamente o potencial, é mais direto diferenciar termo a termo (retornando à forma original):
(Explicação rápida da origin: cada potência y^{n} ao derivar duas vezes traz fatores n(n-1)(1/x_{0}^{2}), e combinando os termos chega-se à expressão acima.)
Passo 4
Avaliar a segunda derivada no ponto de equilíbrio y=1 (ou x=x_{0}):
Esse valor é positivo, confirmando que x_{0} é um mínimo estável. Definimos a constante elástica efetiva (a “rigidez” do poço quadrático aproximado) por
k \equiv \left.\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\right|_{x=x_{0}}=\frac{72U_{0}}{x_{0}^{2}}.
Passo 5
Explicar a aproximação harmônica para pequenas oscilações: perto do mínimo x_{0} o potencial pode ser aproximado por uma série de Taylor de segunda ordem:
U(x)\approx U(x_{0})+\tfrac{1}{2}k(x-x_{0})^{2},
onde k é a segunda derivada calculada acima. Para pequenas deslocamentos q\equiv x-x_{0} o problema reduz-se a um oscilador harmônico com energia potencial \tfrac{1}{2}kq^{2}.
Agora precisamos relacionar isso à equação de movimento para a coordenada relativa dos dois átomos. A massa efetiva que aparece na equação de oscilação é a massa reduzida \mu do par de massas idênticas. Vamos mostrar por que \mu=m/2:
Considere as posições unidimensionais x_{1} e x_{2} dos dois átomos, com x=x_{2}-x_{1} a separação. Defina o centro de massa R=(x_{1}+x_{2})/2 e a coordenada relativa r=x_{2}-x_{1}. As velocidades são \dot{x}_{1}=\dot{R}-\tfrac{1}{2}\dot{r} e \dot{x}_{2}=\dot{R}+\tfrac{1}{2}\dot{r}. A energia cinética total é
Essa é a expressão final: a dependência física faz sentido — quanto maior a profundidade do poço U_{0} ou menor a massa m, maior a frequência; quanto maior a separação característica x_{0}, menor a frequência.