O potencial de Lennard-Jones é
U(x)=U_{0}\left[\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{12}-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{6}\right]
. Considerando 2 átomos idênticos ligados por um potencial de Lennard-Jones, encontre a frequência angular \omega_{0} para pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial de Lennard-Jones
U(x)=U_{0}\left[\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{12}-2\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{6}\right]
e diz que há dois átomos idênticos ligados por esse potencial. O que é pedido:
  • Encontrar a frequência angular de pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável, chamada aqui de \omega_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • U_{0} e x_{0} são constantes positivas do potencial.
  • Existem dois átomos idênticos, cada um com massa m (isso é a hipótese implícita ao dizer “átomos idênticos”; usaremos m para essa massa).
  • A variável x representa a separação entre os dois átomos.
    Nada mais será assumido; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Encontrar o ponto de equilíbrio estável: para isso calculamos a derivada do potencial e igualamos a zero. É útil definir y=\dfrac{x}{x_{0}} para simplificar as contas. Então
U(x)=U_{0}\bigl(y^{12}-2y^{6}\bigr).
Derivando em relação a x, usando dy/dx=1/x_{0},
\frac{dU}{dx}=U_{0}\frac{d}{dx}\bigl(y^{12}-2y^{6}\bigr) =U_{0}\left(12y^{11}-12y^{5}\right)\frac{1}{x_{0}} =\frac{12U_{0}}{x_{0}}\,y^{5}\bigl(y^{6}-1\bigr).
As condições de equilíbrio são \dfrac{dU}{dx}=0. Da expressão acima as soluções são y=0 ou y^{6}=1. A solução fisicamente relevante (separação não nula e positiva) é
y=1\quad\Longrightarrow\quad x_{\text{eq}}=x_{0}.
Esse é o mínimo do potencial (ponto de equilíbrio estável) porque, como veremos ao calcular a segunda derivada, a curvatura é positiva em x=x_{0}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada do potencial para obter a curvatura em torno do mínimo (essa curvatura é o “constante elástica” efetiva k do oscilador harmônico aproximado). Diferenciando novamente a expressão de \dfrac{dU}{dx} ou diretamente o potencial, é mais direto diferenciar termo a termo (retornando à forma original):
\frac{dU}{dx}=U_{0}\left(12\frac{x^{11}}{x_{0}^{12}}-24\frac{x^{5}}{x_{0}^{6}}\right)
mas vamos escrever a segunda derivada de forma clara: usando y=x/x_{0},
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=\frac{12U_{0}}{x_{0}^{2}}\bigl(11y^{10}-5y^{4}\bigr).
(Explicação rápida da origin: cada potência y^{n} ao derivar duas vezes traz fatores n(n-1)(1/x_{0}^{2}), e combinando os termos chega-se à expressão acima.)

Passo 4

Avaliar a segunda derivada no ponto de equilíbrio y=1 (ou x=x_{0}):
\left.\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\right|_{x=x_{0}} =\frac{12U_{0}}{x_{0}^{2}}\bigl(11\cdot1^{10}-5\cdot1^{4}\bigr) =\frac{12U_{0}}{x_{0}^{2}}(11-5) =\frac{12U_{0}}{x_{0}^{2}}\cdot6 =\frac{72U_{0}}{x_{0}^{2}}.
Esse valor é positivo, confirmando que x_{0} é um mínimo estável. Definimos a constante elástica efetiva (a “rigidez” do poço quadrático aproximado) por
k \equiv \left.\frac{d^{2}U}{dx^{2}}\right|_{x=x_{0}}=\frac{72U_{0}}{x_{0}^{2}}.

Passo 5

Explicar a aproximação harmônica para pequenas oscilações: perto do mínimo x_{0} o potencial pode ser aproximado por uma série de Taylor de segunda ordem:
U(x)\approx U(x_{0})+\tfrac{1}{2}k(x-x_{0})^{2},
onde k é a segunda derivada calculada acima. Para pequenas deslocamentos q\equiv x-x_{0} o problema reduz-se a um oscilador harmônico com energia potencial \tfrac{1}{2}kq^{2}.
Agora precisamos relacionar isso à equação de movimento para a coordenada relativa dos dois átomos. A massa efetiva que aparece na equação de oscilação é a massa reduzida \mu do par de massas idênticas. Vamos mostrar por que \mu=m/2:
Considere as posições unidimensionais x_{1} e x_{2} dos dois átomos, com x=x_{2}-x_{1} a separação. Defina o centro de massa R=(x_{1}+x_{2})/2 e a coordenada relativa r=x_{2}-x_{1}. As velocidades são \dot{x}_{1}=\dot{R}-\tfrac{1}{2}\dot{r} e \dot{x}_{2}=\dot{R}+\tfrac{1}{2}\dot{r}. A energia cinética total é
T=\tfrac{1}{2}m\dot{x}_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m\dot{x}_{2}^{2} =\tfrac{1}{2}m\Bigl((\dot{R}-\tfrac{1}{2}\dot{r})^{2}+(\dot{R}+\tfrac{1}{2}\dot{r})^{2}\Bigr) =m\dot{R}^{2}+\frac{m}{4}\dot{r}^{2}.
A parte que envolve a coordenada relativa é \dfrac{m}{4}\dot{r}^{2}, que pode ser escrita como \tfrac{1}{2}\mu\dot{r}^{2} com
\mu=\frac{m}{2}.
Portanto, a equação de movimento para pequenas oscilações relativas é
\mu\ddot{q} + k q = 0,
com q a pequena variação da separação em torno de x_{0}.

Passo 6

A frequência angular da oscilação relativa é dada por
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{\mu}}.
Substituindo k=\dfrac{72U_{0}}{x_{0}^{2}} e \mu=\dfrac{m}{2},
\omega_{0} =\sqrt{\frac{\dfrac{72U_{0}}{x_{0}^{2}}}{\dfrac{m}{2}}} =\sqrt{\frac{72U_{0}}{x_{0}^{2}}\cdot\frac{2}{m}} =\sqrt{\frac{144U_{0}}{m x_{0}^{2}}} =12\sqrt{\frac{U_{0}}{m x_{0}^{2}}}.
Essa é a expressão final: a dependência física faz sentido — quanto maior a profundidade do poço U_{0} ou menor a massa m, maior a frequência; quanto maior a separação característica x_{0}, menor a frequência.

Resposta

\displaystyle \omega_{0}=12\sqrt{\dfrac{U_{0}}{m\,x_{0}^{2}}}

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