Um sistema dinâmico hipotético é regido pela seguinte modelagem por espaços de estados:
Discuta sobre as condições de controlabilidade e observabilidade desse sistema hipotético, considerando que DEVE ser possível realizar um controle por
cancelamento de pólo.
NOTA:
DICA: O controle por cancelamento de pólo é viabilizado pela inserção de zeros apropriados que anule pólos indesejados.
Carregar
Escolher um arquivo
Discuta sobre as condições de controlabilidade e observabilidade desse sistema hipotético, considerando que DEVE ser possível realizar um controle por
cancelamento de pólo.
NOTA:
DICA: O controle por cancelamento de pólo é viabilizado pela inserção de zeros apropriados que anule pólos indesejados.
Carregar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema dinâmico descrito por matrizes de estado
,
,
e
. A pergunta é sobre as condições de controlabilidade e observabilidade desse sistema, e se dá para controlar o sistema por cancelamento de pólos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são controlabilidade e observabilidade, e como verificar isso usando as matrizes dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre controlabilidade. Um sistema é controlável se, a partir de qualquer estado inicial, a gente consegue direcionar o sistema para qualquer outro estado desejado em um tempo finito, usando as entradas de controle. Para verificar a controlabilidade, usamos a matriz de controlabilidade, que é formada por
para sistemas de duas dimensões.
Passo 3
Vamos montar a matriz de controlabilidade:
Aqui, multiplicamos
pela matriz
para obter a segunda coluna da matriz de controlabilidade.
Passo 4
Agora, precisamos ver se a matriz
tem posto completo, ou seja, se ela é de posto 2 (já que o sistema é de duas dimensões). Isso acontece se o determinante de
for diferente de zero. Vamos calcular o determinante:
Para que
, precisamos que
.
Passo 5
Então, concluímos que o sistema é controlável se
. Se
, a matriz de controlabilidade perde o posto completo, o que significa que não conseguimos controlar todas as direções do estado do sistema.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre observabilidade. Um sistema é observável se, a partir das saídas ao longo do tempo, a gente consegue determinar o estado inicial do sistema. Para verificar a observabilidade, usamos a matriz de observabilidade, que é formada por:
Vamos montar essa matriz com as matrizes dadas.
Passo 7
Calculando
:
Então, a matriz de observabilidade fica:
Passo 8
Para que o sistema seja observável, a matriz
também precisa ter posto completo, ou seja,
. Vamos calcular o determinante:
Para que
, precisamos que
.
Passo 9
Então, o sistema é observável se
. Se
, a matriz de observabilidade perde o posto completo, e a gente não consegue observar todos os estados do sistema a partir das saídas.
Passo 10
Por último, sobre o cancelamento de pólo: para que possamos realizar um controle por cancelamento de pólo, o sistema precisa ser tanto controlável quanto observável, e os pólos indesejados podem ser anulados com a inserção de zeros apropriados. Isso só é possível se as condições de controlabilidade (
) e observabilidade (
) forem atendidas simultaneamente.
Resposta
O sistema é controlável para todo
e observável para todo
. Assim, é possível realizar um controle por cancelamento de pólo desde que
seja diferente de 0 e de 1.