Um sistema dinâmico hipotético é regido pela seguinte modelagem por espaços de estados:
A=[cc-2 & varepsilon 4 & -5] ; B=[l0 3] ; C=[ll1 & -1] ; D=0
Discuta sobre as condições de controlabilidade e observabilidade desse sistema hipotético, considerando que DEVE ser possível realizar um controle por
cancelamento de pólo.
NOTA: epsilon in R
DICA: O controle por cancelamento de pólo é viabilizado pela inserção de zeros apropriados que anule pólos indesejados.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema dinâmico descrito por matrizes de estado , , e . A pergunta é sobre as condições de controlabilidade e observabilidade desse sistema, e se dá para controlar o sistema por cancelamento de pólos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são controlabilidade e observabilidade, e como verificar isso usando as matrizes dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre controlabilidade. Um sistema é controlável se, a partir de qualquer estado inicial, a gente consegue direcionar o sistema para qualquer outro estado desejado em um tempo finito, usando as entradas de controle. Para verificar a controlabilidade, usamos a matriz de controlabilidade, que é formada por para sistemas de duas dimensões.

Passo 3

Vamos montar a matriz de controlabilidade:
C = [B AB] = [ cc 0 & A11 cdot 0 + A12 cdot 3 3 & A21 cdot 0 + A22 cdot 3 ] = [ cc 0 & 3varepsilon 3 & -15 ]
Aqui, multiplicamos pela matriz para obter a segunda coluna da matriz de controlabilidade.

Passo 4

Agora, precisamos ver se a matriz det(C) = (0)(-15) - (3varepsilon)(3) = 0 - 9varepsilon = -9varepsilon tem posto completo, ou seja, se ela é de posto 2 (já que o sistema é de duas dimensões). Isso acontece se o determinante de for diferente de zero. Vamos calcular o determinante:
Para que , precisamos que .

Passo 5

Então, concluímos que o sistema é controlável se . Se , a matriz de controlabilidade perde o posto completo, o que significa que não conseguimos controlar todas as direções do estado do sistema.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre observabilidade. Um sistema é observável se, a partir das saídas ao longo do tempo, a gente consegue determinar o estado inicial do sistema. Para verificar a observabilidade, usamos a matriz de observabilidade, que é formada por:
O = [ c C CA ]
Vamos montar essa matriz com as matrizes dadas.

Passo 7

Calculando CA = C cdot A = [ 1 -1 ] cdot [ cc -2 & varepsilon 4 & -5 ] = [ (1)(-2) + (-1)(4) (1)(varepsilon) + (-1)(-5) ] = [ -6 varepsilon + 5 ] :
O = [ cc 1 & -1 -6 & varepsilon + 5 ]
Então, a matriz de observabilidade fica:

Passo 8

Para que o sistema seja observável, a matriz det(O) = (1)(varepsilon + 5) - (-1)(-6) = varepsilon + 5 - 6 = varepsilon - 1 também precisa ter posto completo, ou seja, . Vamos calcular o determinante:
Para que , precisamos que .

Passo 9

Então, o sistema é observável se . Se , a matriz de observabilidade perde o posto completo, e a gente não consegue observar todos os estados do sistema a partir das saídas.

Passo 10

Por último, sobre o cancelamento de pólo: para que possamos realizar um controle por cancelamento de pólo, o sistema precisa ser tanto controlável quanto observável, e os pólos indesejados podem ser anulados com a inserção de zeros apropriados. Isso só é possível se as condições de controlabilidade ( ) e observabilidade ( ) forem atendidas simultaneamente.

Resposta

O sistema é controlável para todo e observável para todo . Assim, é possível realizar um controle por cancelamento de pólo desde que seja diferente de 0 e de 1.

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