Exercício 2 (4 pts)
A função de transferência de um circuito RLC série é dada por
em que
é a tensão de entrada e
é a tensão de saída sobre o capacitor. Caso
seja uma tensão em degrau, determine o valor do resistor
tal que uma ultrapassagem percentual de
em tensão seja vista sobre o capacitor se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC série e quer descobrir qual o valor do resistor
para que, quando aplicarmos uma tensão em degrau, a tensão no capacitor ultrapasse 20% do valor final. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de transferência e resposta de sistemas de segunda ordem, além de entender como o amortecimento afeta a ultrapassagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a função de transferência dada é:
Aqui,
é a tensão de entrada em degrau e
é a tensão no capacitor. Os valores dados são
e
.
Passo 3
Sabemos que a resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem pode ser descrita pela equação:
Onde:
-
é o fator de amortecimento, -
é a frequência natural, -
é a frequência amortecida.
A ultrapassagem percentual (
) está relacionada ao
pela fórmula:
No nosso caso, queremos
.
Passo 4
Vamos resolver a equação da ultrapassagem para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando logaritmo natural:
Calculando
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando
:
Somando
aos dois lados:
Fatorando
:
Isolando
:
Calculando o denominador:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos o fator de amortecimento
, vamos relacioná-lo com os componentes do circuito RLC. A relação entre
,
,
e
é:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando
Então:
Resposta
O valor do resistor
deve ser aproximadamente
para que haja uma ultrapassagem de 20% na tensão sobre o capacitor.