Exercício 2 (4 pts)

A função de transferência de um circuito RLC série é dada por
Vc(s)Ve(s)=1L Cs^2+RL s+1L C
em que Ve(s) é a tensão de entrada e Vc(s) é a tensão de saída sobre o capacitor. Caso Ve(s) seja uma tensão em degrau, determine o valor do resistor R tal que uma ultrapassagem percentual de 20 % em tensão seja vista sobre o capacitor se C=10^-6 F e L=1 H.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC série e quer descobrir qual o valor do resistor para que, quando aplicarmos uma tensão em degrau, a tensão no capacitor ultrapasse 20% do valor final. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de transferência e resposta de sistemas de segunda ordem, além de entender como o amortecimento afeta a ultrapassagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a função de transferência dada é:
Vc(s)Ve(s) = 1LCs^2 + RL s + 1LC
Aqui, é a tensão de entrada em degrau e é a tensão no capacitor. Os valores dados são e .

Passo 3

Sabemos que a resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem pode ser descrita pela equação:
Vc(t) = 1 - 1raiz1 - zeta^2 e^-zeta omegan t sin(omegad t + phi)
Onde:
  • %OS = 100 cdot e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) é o fator de amortecimento,
  • é a frequência natural,
  • é a frequência amortecida.
A ultrapassagem percentual ( ) está relacionada ao pela fórmula:
No nosso caso, queremos .

Passo 4

Vamos resolver a equação da ultrapassagem para encontrar 20 = 100 cdot e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) :
0.2 = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2)
Dividindo ambos os lados por 100:
ln(0.2) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Aplicando logaritmo natural:
-1.6094 = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Calculando pi zetaraiz1 - zeta^2 = 1.6094 :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver para pi zeta = 1.6094 raiz1 - zeta^2 :
Multiplicando ambos os lados por pi^2 zeta^2 = 1.6094^2 (1 - zeta^2) :
2.5903 zeta^2 = 2.5903 - 2.5903 zeta^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2.5903 zeta^2 + pi^2 zeta^2 = 2.5903
Calculando zeta^2 (pi^2 + 2.5903) = 2.5903 :
zeta^2 = 2.5903pi^2 + 2.5903
Somando pi^2 approx 9.8696 9.8696 + 2.5903 = 12.4599 aos dois lados:
zeta^2 = 2.590312.4599 approx 0.208
Fatorando zeta = raiz0.208 approx 0.456 :
Isolando :
Calculando o denominador:
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos o fator de amortecimento zeta = R2 raizCL , vamos relacioná-lo com os componentes do circuito RLC. A relação entre R = 2 zeta raizLC , , e é:
Rearranjando para encontrar :

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
R = 2 times 0.456 times raiz110^-6
Calculando R = 2 times 0.456 times 1000 = 912 , Omega
Então:

Resposta

O valor do resistor deve ser aproximadamente para que haja uma ultrapassagem de 20% na tensão sobre o capacitor.

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