Determine o valor de
que resulta em uma ultrapassagem percentual
. (2,0 pts).
Passo 1
Beleza, a questão pede: “Determine o valor de K que faz o ultrapassagem percentual (%UP) ser 20%.” Isso é tipicamente assunto de resposta transitória de sistema de segunda ordem. Para resolver, a gente vai usar:
- a fórmula padrão de ultrapassagem (%UP) em função do coeficiente de amortecimento ζ:
%UP = e^{-\frac{\pi ,\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100% - o fato de que, num sistema em malha fechada de segunda ordem com função característica s² + s + K = 0 (ou seja, T(s)=K/[s² + s + K]), podemos comparar com s² + 2ζω_n s + ω_n² = 0. Daí vem:
ω_n² = K,
2ζω_n = 1.
Passo 2
Primeiro, encontrarmos ζ que gera 20% de ultrapassagem. A fórmula é:
Aplicando ln nos dois lados:
Isolando ζ dá a expressão conhecida:
Calculando numericamente:
Passo 3
Agora, da comparação com o polinômio s² + s + K = 0, temos:
ω_n² = K
e
2 ζ ω_n = 1
Então ω_n = 1/(2ζ). Substituindo em K = ω_n²:
ω_n² = K
e
2 ζ ω_n = 1
Então ω_n = 1/(2ζ). Substituindo em K = ω_n²:
Basta pôr ζ ≈ 0,456:
Resposta
K ≈ 1,20 para que a ultrapassagem percentual seja 20%.