Determine o valor de K que resulta em uma ultrapassagem percentual % U P=20. (2,0 pts).

Passo 1

Beleza, a questão pede: “Determine o valor de K que faz o ultrapassagem percentual (%UP) ser 20%.” Isso é tipicamente assunto de resposta transitória de sistema de segunda ordem. Para resolver, a gente vai usar:
  1. a fórmula padrão de ultrapassagem (%UP) em função do coeficiente de amortecimento ζ:
    %UP = e^{-\frac{\pi ,\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100%
  2. o fato de que, num sistema em malha fechada de segunda ordem com função característica s² + s + K = 0 (ou seja, T(s)=K/[s² + s + K]), podemos comparar com s² + 2ζω_n s + ω_n² = 0. Daí vem:
    ω_n² = K,
    2ζω_n = 1.

Passo 2

Primeiro, encontrarmos ζ que gera 20% de ultrapassagem. A fórmula é:
20 = e^-pi zetaraiz1-zeta^2times100 Longrightarrow 0,20 = e^-pi zetaraiz1-zeta^2
Aplicando ln nos dois lados:
ln(0,20) = -pi zetaraiz1-zeta^2 Longrightarrow -ln(0,20),raiz1-zeta^2 = pi,zeta
Isolando ζ dá a expressão conhecida:
zeta = -ln(0,20)raizpi^2 + l[ln(0,20)r]^2
Calculando numericamente:
ln(0,20)approx -1,6094 Longrightarrow zeta approx 1,6094raiz9,8696 + 2,5901 = 1,6094raiz12,4597 approx 0,456

Passo 3

Agora, da comparação com o polinômio s² + s + K = 0, temos:
ω_n² = K
e
2 ζ ω_n = 1
Então ω_n = 1/(2ζ). Substituindo em K = ω_n²:
K = l(12,zetar)^2 = 14,zeta^2
Basta pôr ζ ≈ 0,456:
K = 14,(0,456)^2 approx 14 times 0,2079 approx 1,20

Resposta

K ≈ 1,20 para que a ultrapassagem percentual seja 20%.

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