Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
x(n)=\cos ^{2}\left(\frac{21 \pi}{5} n+\pi\right)

Passo 1

Temos a sequência discreta
x(n)=\cos^{2}\!\Bigl(\frac{21\pi}{5}n+\pi\Bigr).
O objetivo é verificar se ela é periódica em n e, se for, achar o menor período inteiro. Para isso vamos usar a identidade trigonométrica de quadrado de cosseno e a condição de periodicidade de um cosseno em tempo discreto.

Passo 2

Usando
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},
com \theta=\frac{21\pi}{5}n+\pi, obtemos
x(n) =\frac{1+\cos\bigl(2\bigl(\tfrac{21\pi}{5}n+\pi\bigr)\bigr)}{2} =\frac{1+\cos\bigl(\tfrac{42\pi}{5}n+2\pi\bigr)}{2}.

Passo 3

Como \cos(\varphi+2\pi)=\cos\varphi, simplificamos para
x(n)=\frac{1+\cos\!\bigl(\tfrac{42\pi}{5}n\bigr)}{2}.
Logo basta estudar a periodicidade da parte \cos\bigl(\Omega_{0}n\bigr) com \Omega_{0}=\tfrac{42\pi}{5}.

Passo 4

Em tempo discreto, \cos(\Omega_{0}n) é periódico se
\frac{\Omega_{0}}{2\pi}=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}.
Aqui
\frac{\Omega_{0}}{2\pi} =\frac{\tfrac{42\pi}{5}}{2\pi} =\frac{42}{10} =\frac{21}{5}.
Como essa fração já está em termos primos p=21, q=5, o período fundamental inteiro é
N=q=5.

Resposta

A função é periódica em n e o menor período inteiro é 5.

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