Um sistema com duas cargas Q_{1}=10 \mu \mathrm{C} em ( 1,0,0 ) e Q_{2}=-5 \mu \mathrm{C} em ( 0,1,0 ) tem um dielétrico com \epsilon_{r}=3+0.2 z. Calcule o campo vetorial \mathbf{E} em (0.5, 0.5, 1) usando integrais e análise vetorial.

Passo 1

O problema dá duas cargas pontuais em um meio dielétrico com permitividade relativa variável \epsilon_r(z)=3+0{,}2\,z. Queremos o campo elétrico em P=(0{,}5,0{,}5,1). O conteúdo aqui é aplicar a lei de Coulomb em um meio linear não homogêneo, aproximando que cada contribuição pontual seja atenuada pela permitividade local em P.

Passo 2

Em geral, o campo de uma densidade de carga \rho(\mathbf r') num meio com \epsilon_r variável é
\mathbf E(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf r')}{\epsilon_r(z')} \frac{\mathbf r-\mathbf r'}{\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert^3}\,dV'\,.
Para cargas pontuais Q_i em \mathbf r_i isso vira soma:
\mathbf E(\mathbf r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_i \frac{Q_i}{\epsilon_r(z_i)} \frac{\mathbf r-\mathbf r_i}{\lvert\mathbf r-\mathbf r_i\rvert^3}\,.

Passo 3

Identificamos
\mathbf r=(0{,}5,0{,}5,1),
\displaystyle Q_1=10\times10^{-6}\,\mathrm C em \mathbf r_1=(1,0,0),
\displaystyle Q_2=-5\times10^{-6}\,\mathrm C em \mathbf r_2=(0,1,0).
Em cada ponto de carga, z_1=0 e z_2=0, logo
\epsilon_r(z_1)=\epsilon_r(z_2)=3+0{,}2\cdot0=3.

Passo 4

Calculemos os vetores \mathbf d_i=\mathbf r-\mathbf r_i e seus módulos:
\displaystyle \mathbf d_1=(0{,}5-1,\,0{,}5-0,\,1-0)=(-0{,}5,\,0{,}5,\,1),
\displaystyle \mathbf d_2=(0{,}5-0,\,0{,}5-1,\,1-0)=(0{,}5,\,-0{,}5,\,1).
Ambos têm
\displaystyle r_1=r_2=\sqrt{(-0{,}5)^2+(0{,}5)^2+1^2}=\sqrt{1{,}5}\approx1{,}225.

Passo 5

Escrevendo
\displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx8{,}99\times10^9,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}{2}/\mathrm{C}{2}), e usando \epsilon_r=3, temos
\mathbf{E} =\frac{k}{3}\Bigl[ 10\times10^{-6}\,\frac{\mathbf{d}_1}{r_1^3} -5\times10^{-6}\,\frac{\mathbf{d}_2}{r_2^3} \Bigr].
Como r_1^3=r_2^3=(\sqrt{1{,}5})^3=1{,}5\sqrt{1{,}5}\approx1{,}837,
\frac{10\times10^{-6}}{r_1^3}\approx5{,}44\times10^{-6},\quad \frac{5\times10^{-6}}{r_2^3}\approx2{,}72\times10^{-6}.
Logo o vetor entre colchetes é
5{,}44\times10^{-6}(-0{,}5,0{,}5,1) \;-\;2{,}72\times10^{-6}(0{,}5,-0{,}5,1) =(-4{,}08,\,4{,}08,\,2{,}72)\times10^{-6}.
Multiplicando por k/3\approx2{,}997\times10^9
\mathbf{E}\approx(-12{,}2,\,12{,}2,\,8{,}2)\times10^6\;\mathrm{V/m}.

Resposta

\mathbf E(0{,}5,0{,}5,1)\approx (-1{,}22\times10^7,\,1{,}22\times10^7,\,8{,}2\times10^6)\;\mathrm{V/m}.

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