Em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, seja o paralelogramo ABCD em que A (5, 4), B (-3, -2) e C (1, -5). Sendo AC uma das diagonais desse paralelogramo, qual é a medida da outra diagonal, em unidades de comprimento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo no plano cartesiano com os pontos A(5, 4), B(-3, -2) e C(1, -5). Sabemos que AC é uma das diagonais e queremos descobrir o comprimento da outra diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo de distâncias entre pontos e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o quarto ponto, D, do paralelogramo. Sabemos que em um paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio, ou seja, o ponto onde elas se interceptam é o ponto médio de ambas as diagonais.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio da diagonal AC. As coordenadas de A são (5, 4) e de C são (1, -5). A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ C(x_2, y_2) $ é:
A(x1, y1)
Aplicando:
C(x2, y2)

Passo 4

Agora, sabemos que o ponto médio da outra diagonal BD também é M(3, -0.5). Já temos as coordenadas de B(-3, -2) e precisamos encontrar as coordenadas de D(x, y). Usando novamente a fórmula do ponto médio:
M = ( -3 + x2, -2 + y2 ) = ( 3, -0.5 )
Isso nos dá duas equações:
-3 + x2 = 3 e -2 + y2 = -0.5

Passo 5

Resolvendo as equações:
-3 + x = 6 Rightarrow x = 9
-2 + y = -1 Rightarrow y = 1
Então, o ponto D tem coordenadas (9, 1).

Passo 6

Agora que temos os pontos B(-3, -2) e D(9, 1), vamos calcular a distância entre eles para encontrar o comprimento da diagonal BD. A fórmula da distância entre dois pontos $ B(x_1, y_1) $ e $ D(x_2, y_2) $ é:
B(x1, y1)
Aplicando:
D(x2, y2)
Podemos simplificar:
BD = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Resposta

A medida da outra diagonal é $ 3\sqrt{17} $ unidades de comprimento.

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