Em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, seja o paralelogramo ABCD em que A (5, 4), B (-3, -2) e C (1, -5). Sendo AC uma das diagonais desse paralelogramo, qual é a medida da outra diagonal, em unidades de comprimento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo no plano cartesiano com os pontos A(5, 4), B(-3, -2) e C(1, -5). Sabemos que AC é uma das diagonais e queremos descobrir o comprimento da outra diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo de distâncias entre pontos e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o quarto ponto, D, do paralelogramo. Sabemos que em um paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio, ou seja, o ponto onde elas se interceptam é o ponto médio de ambas as diagonais.
Passo 3
Vamos calcular o ponto médio da diagonal AC. As coordenadas de A são (5, 4) e de C são (1, -5). A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ C(x_2, y_2) $ é:
Aplicando:
Passo 4
Agora, sabemos que o ponto médio da outra diagonal BD também é M(3, -0.5). Já temos as coordenadas de B(-3, -2) e precisamos encontrar as coordenadas de D(x, y). Usando novamente a fórmula do ponto médio:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Então, o ponto D tem coordenadas (9, 1).
Passo 6
Agora que temos os pontos B(-3, -2) e D(9, 1), vamos calcular a distância entre eles para encontrar o comprimento da diagonal BD. A fórmula da distância entre dois pontos $ B(x_1, y_1) $ e $ D(x_2, y_2) $ é:
Aplicando:
Podemos simplificar:
Resposta
A medida da outra diagonal é $ 3\sqrt{17} $ unidades de comprimento.