Um sistema eletrônico é constituído por 8 componentes. Cada um desses componentes trabalha independentemente com probabilidade de funcionamento de 0,6 . Qual é a probabilidade que pelo menos 7 componentes funcionem?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • São 8 componentes no sistema.
  • Cada componente funciona independentemente com probabilidade 0,6.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de que pelo menos 7 componentes funcionem? Ou seja, pedir P(\text{pelo menos }7\\ \text{funcionem}).

Passo 2

Modelagem do problema (por que essa modelagem vale):
  • Cada componente é um ensaio que tem só dois resultados relevantes: “funciona” (sucesso) ou “não funciona” (falha).
  • Os ensaios são independentes e têm mesma probabilidade de sucesso p=0,6.
  • Então o número de componentes que funcionam segue uma distribuição binomial com parâmetros n=8 e p=0,6. Escrevemos isso como
X \sim \mathrm{Bin}(n=8,p=0,6),
onde X é a variável aleatória que conta quantos componentes funcionam.

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial (aulas rápidas):
  • A probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Aqui \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios são sucessos; pode ser calculado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto dos inteiros de 1 até n.

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida em termos da binomial:
  • “Pelo menos 7 funcionem” significa X\ge 7. Como n=8, isso equivale a calcular
P(X\ge 7)=P(X=7)+P(X=8).
  • Usando a fórmula binomial:
P(X=7)=\binom{8}{7}(0,6)^{7}(0,4)^{1}, \qquad P(X=8)=\binom{8}{8}(0,6)^{8}(0,4)^{0}.

Passo 5

Calcular os coeficientes combinatórios:
\binom{8}{7}=\frac{8!}{7!1!}=8, \qquad \binom{8}{8}=\frac{8!}{8!0!}=1.

Passo 6

Calcular as potências de 0,6 passo a passo (para ficar fácil de acompanhar):
  • (0,6)^2=0,36.
  • (0,6)^3=0,36\cdot0,6=0,216.
  • (0,6)^4=0,216\cdot0,6=0,1296.
  • (0,6)^5=0,1296\cdot0,6=0,07776.
  • (0,6)^6=0,07776\cdot0,6=0,046656.
  • (0,6)^7=0,046656\cdot0,6=0,0279936.
  • (0,6)^8=0,0279936\cdot0,6=0,01679616.
    Também note que (1-p)=0,4.

Passo 7

Calcular P(X=7) com as quantidades acima:
  • Primeiro calcule (0,6)^7(0,4)^1:
(0,6)^7(0,4)=0,0279936\cdot0,4=0,01119744.
  • Agora multiplique pelo combinatório \binom{8}{7}=8:
P(X=7)=8\cdot0,01119744=0,08957952.

Passo 8

Calcular P(X=8):
P(X=8)=1\cdot(0,6)^8\cdot(0,4)^0=0,01679616.

Passo 9

Somar as duas probabilidades para obter P(X\ge 7):
P(X\ge 7)=P(X=7)+P(X=8)=0,08957952+0,01679616=0,10637568.
Interpretação final curta: a probabilidade de que pelo menos 7 dos 8 componentes funcionem é aproximadamente 0,1064, ou seja cerca de 10{,}64\%. Força aí — dá pra memorizar esse processo: identificar binomial, aplicar a fórmula, calcular termos e somar os casos pedidos.

Resposta

0,10637568

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