Um sistema eletrônico é constituído por 8 componentes. Cada um desses componentes trabalha independentemente com probabilidade de funcionamento de 0,6 . Qual é a probabilidade que pelo menos 7 componentes funcionem?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- São
componentes no sistema. - Cada componente funciona independentemente com probabilidade
. - A pergunta: qual é a probabilidade de que pelo menos
componentes funcionem? Ou seja, pedir .
Passo 2
Modelagem do problema (por que essa modelagem vale):
- Cada componente é um ensaio que tem só dois resultados relevantes: “funciona” (sucesso) ou “não funciona” (falha).
- Os ensaios são independentes e têm mesma probabilidade de sucesso
. - Então o número de componentes que funcionam segue uma distribuição binomial com parâmetros
e . Escrevemos isso como
onde
é a variável aleatória que conta quantos componentes funcionam.
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial (aulas rápidas):
- A probabilidade de exatamente
sucessos em ensaios independentes com probabilidade de sucesso é dada por
- Aqui
é o número de maneiras de escolher quais ensaios são sucessos; pode ser calculado por
onde
(fatorial) é o produto dos inteiros de
até
.
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida em termos da binomial:
- “Pelo menos
funcionem” significa . Como , isso equivale a calcular
- Usando a fórmula binomial:
Passo 5
Calcular os coeficientes combinatórios:
Passo 6
Calcular as potências de
passo a passo (para ficar fácil de acompanhar):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Também note que.
Passo 7
Calcular
com as quantidades acima:
- Primeiro calcule
:
- Agora multiplique pelo combinatório
:
Passo 8
Calcular
:
Passo 9
Somar as duas probabilidades para obter
:
Interpretação final curta: a probabilidade de que pelo menos
dos
componentes funcionem é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Força aí — dá pra memorizar esse processo: identificar binomial, aplicar a fórmula, calcular termos e somar os casos pedidos.