2-) Uma empresa interessada em conhecer a vida útil de uma determinada marca de lâmpada incandescente X, pesquisou a duração dessa lâmpada por meio de uma amostra aleatória de 50 residências. Foram obtidos os resultados registrados (dados brutos) na tabela a seguir.
Table 1: Duração (em horas) de uma lâmpada incandescente x (dados brutos)
(Resultados obtidos em 50 residências)
\captionsetup{labelformat=empty}
1530 1430 1550 1380 1640 1480 1500 1350 1590 1720
1650 1700 1510 1470 1660 1390 1580 1530 1700 1460
1330 1520 1750 1350 1290 1480 1610 1400 1370 1540
1440 1620 1380 1690 1570 1280 1410 1620 1520 1340
1670 1480 1510 1470 1310 1600 1550 1320 1510 1460
a) Elabore uma tabela com os dados organizados (rol);
b) Identifique a variável em estudo. É qualitativa ou quantitativa? É contínua ou discreta?
c) Qual o número de dados coletados na pesquisa?
d) Calcule o número de classes. Para esse cálculo utilize qualquer uma das sugestões: k=\sqrt{n} ou k=1+3,322 \times \log n, onde n é o número de dados coletados na pesquisa;
e) Calcule a amplitude do intervalo de classes, isto é, AT / n^{\circ} classes;
f) Elabore outra tabela discriminando os valores da frequência absoluta, frequência relativa percentual, frequência acumulada, e frequência relativa percentual acumulada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele fornece (peguei os 50 valores dos dados brutos do enunciado).
  • O enunciado dá os 50 tempos de duração (em horas) das lâmpadas como dados brutos (há 50 observações).
  • Perguntas a responder:
    a) Elaborar a rol (dados organizados em ordem crescente).
    b) Identificar a variável estudada: se é qualitativa/quantitativa e contínua/discreta.
    c) Informar o número de dados coletados n.
    d) Calcular o número de classes k, usando uma das fórmulas sugeridas.
    e) Calcular a amplitude total (alcance) e a amplitude por classe (AT / n^{\circ} classes).
    f) Elaborar tabela com: classe (intervalo), frequência absoluta, frequência relativa percentual, frequência acumulada e frequência relativa percentual acumulada.

Passo 2

Organizar os dados em ordem crescente (rol).
  • Primeiro reapresentar os 50 valores originais (retirados do enunciado):
    1530,\,1430,\,1550,\,1380,\,1640,\,1480,\,1500,\,1350,\,1590,\,1720,\,1650,\,1700,\,1510,\,1470,\,1660,\,1390,\,1580,\,1530,\,1700,\,1460,\,1330,\,1520,\,1750,\,1350,\,1290,\,1480,\,1610,\,1400,\,1370,\,1540,\,1440,\,1620,\,1380,\,1690,\,1570,\,1280,\,1410,\,1620,\,1520,\,1340,\,1670,\,1480,\,1510,\,1470,\,1310,\,1600,\,1550,\,1320,\,1510,\,1460.
  • Agora ordenar esses números em ordem crescente (rol). Aqui está a rol (ordenada do menor para o maior):
1280,\;1290,\;1310,\;1320,\;1330,\;1340,\;1350,\;1350,\;1370,\;1380,\;1380,\;1390,\;1400,\;1410,\;1430,\;1440,\;1460,\;1460,\;1470,\;1470,\;1480,\;1480,\;1480,\;1500,\;1510,\;1510,\;1510,\;1520,\;1520,\;1530,\;1530,\;1540,\;1550,\;1550,\;1570,\;1580,\;1590,\;1600,\;1610,\;1620,\;1620,\;1640,\;1650,\;1660,\;1670,\;1690,\;1700,\;1700,\;1720,\;1750. - Observação: repetições aparecem (por exemplo \(1350\) duas vezes, \(1480\) três vezes, etc.). A rol acima tem 50 valores.

Passo 3

Identificar a natureza da variável e contar n.
  • A variável em estudo é “duração da lâmpada em horas” — é uma medida numérica que representa tempo de vida em horas.
  • Por isso a variável é quantitativa (porque é um número que mede uma característica).
  • Sobre contínua ou discreta: duração em horas, em princípio, é uma medida que pode assumir qualquer valor em um intervalo real (podemos medir horas com frações). Mesmo que os dados sejam apresentados em unidades inteiras (múltiplos de 10 horas), conceitualmente a vida útil é uma variável contínua. Logo: variável quantitativa contínua.
  • O número de dados coletados é n=50.

Passo 4

Calcular o número de classes k.
  • Existem duas sugestões. Vamos calcular as duas e escolher uma inteira adequada:
    • Método 1: k=\sqrt{n}. Como n=50,
    k=\sqrt{50}\approx 7{,}071.
    • Método 2 (fórmula de Sturges aproximada): k=1+3{,}322\times\log n, onde \log é logaritmo decimal.
    \log(50)\approx 1{,}69897,\qquad k=1+3{,}322\times 1{,}69897\approx 6{,}646.
  • Ambos os critérios indicam algo em torno de 6{,}6- 7{,}07. Em prática, escolhe-se um número inteiro próximo e conveniente. Vou adotar
k=7,
que é o arredondamento natural e facilita a construção das classes (justificativa: resultado das duas fórmulas próximo de 7).

Passo 5

Calcular a amplitude total (alcance) e a amplitude por classe (largura de classe).
  • Amplitude total (alcance) AT é a diferença entre o maior e o menor valor observados:
AT=\text{máx}-\text{mín}=1750-1280=470\\ \text{horas}.áí
  • A largura de classe teórica (sem arredondamento) é
h=\frac{AT}{k}=\frac{470}{7}\approx 67{,}1429.
  • Em prática, escolhe-se uma largura de classe inteira e que cubra todos os dados. Para não deixar restos e garantir cobertura até o maior valor, costuma-se arredondar para cima (ceiling). Assim escolho
\text{largura de classe adotada }=68\\ \text{horas}.
  • Verificação: com largura 68 e 7 classes cobriremos 7\times 68=476 unidades, maior que AT=470, então o último limite será pelo menos o máximo observado.

Passo 6

Definir os intervalos de classe (usando largura 68).
  • Começo pelo menor valor observado 1280 e crio 7 classes consecutivas usando amplitude 68. Para trabalhar com valores inteiros, uso intervalos que não se sobreponham e cobrem todos os números inteiros.
  • Cada classe terá formato “início — fim” com ambos inteiros. Se a largura é 68, o primeiro intervalo vai de 1280 até 1280+68-1=1347. Em seguida, o próximo começa em 1348, etc.
  • As 7 classes (intervalos) ficam:
    1. 1280 1347
    2. 1348 1415
    3. 1416 1483
    4. 1484 1551
    5. 1552 1619
    6. 1620 1687
    7. 1688 1755
  • Observação: o último intervalo vai até 1755, que cobre o maior valor 1750.

Passo 7

Contar as frequências em cada classe (frequência absoluta) e calcular as demais frequências.
  • Lembrete de como calcular:
    • Frequência absoluta f: número de observações dentro do intervalo da classe.
    • Frequência relativa percentual: \text{fr\%}=\dfrac{f}{n}\times 100\%.
    • Frequência acumulada F: soma das frequências absolutas até aquela classe.
    • Frequência relativa percentual acumulada: F\%\;=\dfrac{F}{n}\times 100\%.
  • Como n=50, cada unidade de frequência absoluta equivale a \dfrac{1}{50}=0{,}02 ou 2\%.
  • Contagem por classe (atribuição feita verificando em qual intervalo cada valor da rol cai). Resultado das contagens:
    1. Classe 1280 1347: f_1=6.
    2. Classe 1348 1415: f_2=8.
    3. Classe 1416 1483: f_3=9.
    4. Classe 1484 1551: f_4=11.
    5. Classe 1552 1619: f_5=5.
    6. Classe 1620 1687: f_6=6.
    7. Classe 1688 1755: f_7=5.
  • Conferência: soma das f_i: 6+8+9+11+5+6+5=50 (confere com n).
  • Agora calcular as frequências relativas percentuais e acumuladas:
    • Para cada classe, \text{fr\%}=f_i\times 2\% (pois 1/50=2\%).
    • As frequências acumuladas F_i e percentuais acumulados F_i\% resultam da soma até aquela classe.
  • Cálculos numéricos (cada linha: classe, f, \text{fr\%}, F, F\%):
    1. 1280\!-\!1347:\quad f_1=6,\quad \text{fr\%}=6\times2\%=12\%,\quad F_1=6,\quad F_1\%=12\%.
    2. 1348\!-\!1415:\quad f_2=8,\quad \text{fr\%}=16\%,\quad F_2=14,\quad F_2\%=28\%.
    3. 1416\!-\!1483:\quad f_3=9,\quad \text{fr\%}=18\%,\quad F_3=23,\quad F_3\%=46\%.
    4. 1484\!-\!1551:\quad f_4=11,\quad \text{fr\%}=22\%,\quad F_4=34,\quad F_4\%=68\%.
    5. 1552\!-\!1619:\quad f_5=5,\quad \text{fr\%}=10\%,\quad F_5=39,\quad F_5\%=78\%.
    6. 1620\!-\!1687:\quad f_6=6,\quad \text{fr\%}=12\%,\quad F_6=45,\quad F_6\%=90\%.
    7. 1688\!-\!1755:\quad f_7=5,\quad \text{fr\%}=10\%,\quad F_7=50,\quad F_7\%=100\%.

Passo 8

Resumo final (tabelas e números importantes prontos para consulta rápida).
  • Rol organizado (repetindo para fácil verificação):
1280,\;1290,\;1310,\;1320,\;1330,\;1340,\;1350,\;1350,\;1370,\;1380,\;1380,\;1390,\;1400,\;1410,\;1430,\;1440,\;1460,\;1460,\;1470,\;1470,\;1480,\;1480,\;1480,\;1500,\;1510,\;1510,\;1510,\;1520,\;1520,\;1530,\;1530,\;1540,\;1550,\;1550,\;1570,\;1580,\;1590,\;1600,\;1610,\;1620,\;1620,\;1640,\;1650,\;1660,\;1670,\;1690,\;1700,\;1700,\;1720,\;1750.
  • Variável: quantitativa contínua.
  • n=50.
  • Número de classes adotado: k=7.
  • Amplitude total AT=470. Largura teórica 470/7\approx 67{,}14. Largura adotada por classe: 68.
  • Tabela final de classes e frequências:
\begin{array}{lcccc} \text{Classe (horas)} & f & \text{fr\%} & F & F\%\\hline 1280\!-\!1347 & 6 & 12\% & 6 & 12\%\\\\ 1348\!-\!1415 & 8 & 16\% & 14 & 28\%\\\\ 1416\!-\!1483 & 9 & 18\% & 23 & 46\%\\\\ 1484\!-\!1551 & 11 & 22\% & 34 & 68\%\\\\ 1552\!-\!1619 & 5 & 10\% & 39 & 78\%\\\\ 1620\!-\!1687 & 6 & 12\% & 45 & 90\%\\\\ 1688\!-\!1755 & 5 & 10\% & 50 &100\%\\hline \end{array}

Resposta

a) Rol (ordenado): (1280,;1290,;1310,;1320,;1330,;1340,;1350,;1350,;1370,;1380,;1380,;1390,;1400,;1410,;1430,;1440,;1460,;1460,;1470,;1470,;1480,;1480,;1480,;1500,;1510,;1510,;1510,;1520,;1520,;1530,;1530,;1540,;1550,;1550,;1570,;1580,;1590,;1600,;1610,;1620,;1620,;1640,;1650,;1660,;1670,;1690,;1700,;1700,;1720,;1750.
b) Variável: quantitativa contínua.
c) Número de dados coletados: n=50.
d) Número de classes adotado: k=7.
e) Amplitude total AT=1750-1280=470. Largura teórica 470/7\approx67{,}14. Largura de classe adotada: 68 horas.
f) Tabela de classes e frequências:
1280\!-\!1347:\\ f=6,\\ \text{fr\%}=12\%,\\ F=6,\\ F\%=12\%.
1348\!-\!1415:\\ f=8,\\ \text{fr\%}=16\%,\\ F=14,\\ F\%=28\%.
1416\!-\!1483:\\ f=9,\\ \text{fr\%}=18\%,\\ F=23,\\ F\%=46\%.
1484\!-\!1551:\\ f=11,\\ \text{fr\%}=22\%,\\ F=34,\\ F\%=68\%.
1552\!-\!1619:\\ f=5,\\ \text{fr\%}=10\%,\\ F=39,\\ F\%=78\%.
1620\!-\!1687:\\ f=6,\\ \text{fr\%}=12\%,\\ F=45,\\ F\%=90\%.
1688\!-\!1755:\\ f=5,\\ \text{fr\%}=10\%,\\ F=50,\\ F\%=100\%.)

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