Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de \mathbf{x} ):
\left|\frac{x}{2}+3\right|=5

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a equação
\left|\frac{x}{2}+3\right|=5.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é x e procuramos todas as soluções em \mathbb{R}.
  • O lado direito é o número 5, que é não-negativo, portanto a equação é possível (não há contradição imediata).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (o conceito que precisamos):
  • Para um número real qualquer, chamemos de a\), o valor absoluto \(|a|\) é definido por \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Ou em palavras: |a|\] é a distância de \(a até zero; é sempre não-negativo. Quando temos uma equação do tipo |\text{expressão}| = cã com c\ge 0, isso equivale a dizer que a expressão vale c ou vale -c.]

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso problema:
\left|\frac{x}{2}+3\right|=5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2}+3=5 \quad\text{ou}\quad \frac{x}{2}+3=-5.
Isso ocorre porque a quantidade dentro do valor absoluto pode ser 5 ou -5 para que a distância até zero seja 5.

Passo 4

Resolver a primeira possibilidade \frac{x}{2}+3=5, passo a passo:
  1. Subtrair 3 dos dois lados:
\frac{x}{2}=5-3=2.
  1. Multiplicar por 2 para isolar x:
x=2\cdot 2=4.
Verificação rápida: para x=4,
\frac{x}{2}+3=\frac{4}{2}+3=2+3=5,
e |5|=5, portanto x=4 é solução válida.

Passo 5

Resolver a segunda possibilidade \frac{x}{2}+3=-5, passo a passo:
  1. Subtrair 3 dos dois lados:
\frac{x}{2}=-5-3=-8.
  1. Multiplicar por 2:
x=2\cdot(-8)=-16.
Verificação rápida: para x=-16,
\frac{x}{2}+3=\frac{-16}{2}+3=-8+3=-5,
e |-5|=5, portanto x=-16 é solução válida.

Passo 6

Comentário final e dica para a prova:
  • Sempre que surgir |\text{algo}|=c com c>0, lembre-se de fazer as duas equações \text{algo}=c e \text{algo}=-c. Não esquecer de verificar as soluções no original (às vezes mudanças podem introduzir extranos, embora aqui seja direto).
  • Erro comum: tomar só a equação positiva e esquecer a negativa, perdendo metade das soluções.

Resposta

\{ -16,\,4\}

Exercícios relacionados