Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de
):
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação e encontrar todo o conjunto solução (todos os valores reais de
) da equação
Informações relevantes dadas:
- O lado esquerdo é um valor absoluto:
. - O lado direito é uma expressão linear:
. - A solução deve conter todos os
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Antes de dividir em casos, uma observação importante (condição de existência): o valor absoluto é sempre não negativo, ou seja
. Portanto o lado direito também precisa ser não negativo. Logo impomos a desigualdade
Resolvendo:
Isso significa que qualquer candidato a solução deve satisfazer
.
Passo 3
Definição e método de casos para valor absoluto: para qualquer expressão
Aqui
(ou seja
);
- Caso (II): (ou seja
).]
- Caso (II):
Passo 4
Caso (I):
(
). Nesse caso
, então a equação vira
Resolver passo a passo:
subtrair
dos dois lados:
somar
a ambos os lados:
dividir por
:
Verificação das condições:
satisfaz
e
, portanto é um candidato válido. Substituindo na equação original para checar:
logo a igualdade é verdadeira.
Passo 5
Caso (II):
(
). Aqui
, portanto a equação fica
Resolver passo a passo:
somar
aos dois lados:
subtrair
dos dois lados:
dividir por
:
Verificação das condições:
satisfaz
e também
, logo é candidato válido. Substituição para checar:
a igualdade é verdadeira.
Passo 6
Ambos os valores encontrados passaram nas checagens e satisfazem a equação original. Guarde a ideia: para equações do tipo
sempre impõe-se primeiro a condição de não negatividade do lado direito (se necessário) e depois resolve-se por casos conforme o sinal da expressão dentro do módulo. Isso evita soluções extraviadas.