Resolva as seguintes equações modulares, encontrando o conjunto solução (todos os valores reais de \mathbf{x} ):
|4 x-1|=2 x+3

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação e encontrar todo o conjunto solução (todos os valores reais de x) da equação
|4x-1|=2x+3.
Informações relevantes dadas:
  • O lado esquerdo é um valor absoluto: |4x-1|.
  • O lado direito é uma expressão linear: 2x+3.
  • A solução deve conter todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Antes de dividir em casos, uma observação importante (condição de existência): o valor absoluto é sempre não negativo, ou seja |4x-1|\ge 0. Portanto o lado direito também precisa ser não negativo. Logo impomos a desigualdade
2x+3 \ge 0.
Resolvendo:
2x \ge -3 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\tfrac{3}{2}.
Isso significa que qualquer candidato a solução deve satisfazer \,x \ge -\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Definição e método de casos para valor absoluto: para qualquer expressão A\), \[|A|= \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -\,A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=4x-1\]. Então temos dois casos a tratar, obedecendo também à condição do Passo 2: - Caso (I): \(4x-1 \ge 0 (ou seja x\ge \tfrac{1}{4});
- Caso (II): 4x-1 < 0 (ou seja x< \tfrac{1}{4}).]

Passo 4

Caso (I): 4x-1 \ge 0 ( x\ge \tfrac{1}{4}). Nesse caso |4x-1|=4x-1, então a equação vira
4x-1 = 2x+3.
Resolver passo a passo:
4x-1 = 2x+3
subtrair 2x dos dois lados:
2x-1 = 3
somar 1 a ambos os lados:
2x = 4
dividir por 2:
x = 2.
Verificação das condições: x=2 satisfaz x\ge \tfrac{1}{4} e x\ge -\tfrac{3}{2}, portanto é um candidato válido. Substituindo na equação original para checar:
|4\cdot2-1|=|8-1|=7,\qquad 2\cdot2+3=7,
logo a igualdade é verdadeira.

Passo 5

Caso (II): 4x-1 < 0 ( x< \tfrac{1}{4}). Aqui |4x-1|=-(4x-1) = -4x+1, portanto a equação fica
-4x+1 = 2x+3.
Resolver passo a passo:
-4x+1 = 2x+3
somar 4x aos dois lados:
1 = 6x+3
subtrair 3 dos dois lados:
-2 = 6x
dividir por 6:
x = -\tfrac{1}{3}.
Verificação das condições: x=-\tfrac{1}{3} satisfaz x<\tfrac{1}{4} e também x\ge -\tfrac{3}{2}, logo é candidato válido. Substituição para checar:
|4\cdot(-\tfrac{1}{3})-1| = |-\tfrac{4}{3}-1| = |-\tfrac{7}{3}| = \tfrac{7}{3},
2\cdot(-\tfrac{1}{3})+3 = -\tfrac{2}{3}+3 = \tfrac{7}{3},
a igualdade é verdadeira.

Passo 6

Ambos os valores encontrados passaram nas checagens e satisfazem a equação original. Guarde a ideia: para equações do tipo |\text{linear}|=\text{linear} sempre impõe-se primeiro a condição de não negatividade do lado direito (se necessário) e depois resolve-se por casos conforme o sinal da expressão dentro do módulo. Isso evita soluções extraviadas.

Resposta

\{-\tfrac{1}{3},\,2\}

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