O sistema de equações diferenciais que descreve as correntes i_{1}(t) e i_{2}(t) na rede que contém um resistor, um indutor e um capacitor é
\left\{\begin{array}{l} L \frac{d i_{1}}{d t}+R i_{2}(t)=E(t) \\\ R C \frac{d i_{2}}{d t}+i_{2}(t)-i_{1}(t)=0 \end{array}\right.
Resolva o sistema sob as condições E=60 volts, L=1 henry, R=50 ohms, C=10^{-4} farad e i_{1}(t) e i_{2}(t) inicialmente zero. O que ocorre com i_{1}(t) e i_{2}(t) quando t \rightarrow+\infty ? Sendo i_{1}(t)=i_{2}(t)+i_{3}(t), o que ocorre com i_{3}(t) quando t \rightarrow+\infty ?

Passo 1

O sistema a resolver é
\begin{cases} L\,\dfrac{d i_{1}}{d t}+R\,i_{2}(t)=E(t),\\\ R\,C\,\dfrac{d i_{2}}{d t}+i_{2}(t)-i_{1}(t)=0, \end{cases}
com E=60,V, L=1,H, R=50, \Omega, C=10^{-4},F e condições iniciais i_{1}(0)=0, i_{2}(0)=0. Vamos usar redução a uma única EDO de segunda ordem em i_{2}(t).

Passo 2

Da segunda equação isolamos
i_{1}(t)=i_{2}(t)+R\,C\,\frac{d i_{2}}{d t} =i_{2}(t)+0{,}005\,\frac{d i_{2}}{d t}.
Derivando em t e substituindo em \displaystyle L\frac{di_{1}}{dt}=E- R\,i_{2} (com L=1), obtemos
\frac{d i_{2}}{d t}+0{,}005\,\frac{d^{2}i_{2}}{d t^{2}} =60-50\,i_{2}.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão:
\frac{d^{2}i_{2}}{d t^{2}}+200\,\frac{d i_{2}}{d t}+10000\,i_{2}=12000.

Passo 4

A equação homogênea \displaystyle r^{2}+200r+10000=0 tem raiz dupla r=-100.
Logo a solução geral é
i_{2}(t)=(A+B\,t)e^{-100t}+i_{2p},
onde a solução particular constante satisfaz 10000\,i_{2p}=12000, ou seja i_{2p}=1{,}2.

Passo 5

Com
i_{2}(t)=(A+B\,t)e^{-100t}+1{,}2
e as condições i_{2}(0)=0 e \bigl.\tfrac{d i_{2}}{dt}\bigr|_{0}=0 (esta última decorre de 0{,}005\,\dot i_{2}(0)+i_{2}(0)-i_{1}(0)=0), achamos
A=-1{,}2,\quad B=-120.
Portanto
i_{2}(t) =1{,}2\Bigl[1-e^{-100t}\bigl(1+100t\bigr)\Bigr].

Passo 6

Usando i_{1}=i_{2}+0{,}005\,\dot i_{2} e \dot i_{2}(t)=12000\,t\,e^{-100t}, vem
i_{1}(t) =1{,}2 -e^{-100t}\bigl(1{,}2+60t\bigr).

Passo 7

Como e^{-100t}\to0 quando t\to+\infty, temos
i_{1}(t)\to1{,}2\\ \text{A},\quad i_{2}(t)\to1{,}2\\ \text{A}.
Por fim, i_{3}(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)\to0 quando t\to+\infty.

Resposta

i_{2}(t)=1{,}2\bigl[1-e^{-100t}(1+100t)\bigr] A
i_{1}(t)=1{,}2-e^{-100t}\bigl(1{,}2+60t\bigr) A
Quando t\to+\infty, i_{1}(t)\to1{,}2 A, i_{2}(t)\to1{,}2 A e i_{3}(t)=i_{1}(t)-i_{2}(t)\to0.

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