O sistema de equações:
\left\{\begin{array}{l} 2 y+3 z=7 \\\ x+y-z=-2 \\\\ -x+y-5 z=0 \end{array}\right.
é resolvido aplicando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right]
Identifique as operações elementares X_{1}, \ldots, X_{8} que implementam a seguinte redução:
\begin{gathered} A \xrightarrow{X_{1}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{2}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{3}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & -9 & -9 \end{array}\right] \\\ \xrightarrow{X_{4}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{5}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{6}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \\\ \xrightarrow{X_{7}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{8}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] . \end{gathered}
Resposta:
\begin{array}{ll} X_{1}=\quad, & X_{2}=\quad, \\\ X_{5}=\quad, & X_{3}=\ldots, \\\ X_{6}=\quad & X_{4}=\ldots, \\\ X_{8}=\ldots \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2y+3z=7,\\[4pt] x+y-z=-2,\\[4pt] -x+y-5z=0, \end{array}\right.
e a matriz aumentada inicial
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right].
O que se pede: identificar as operações elementares X_{1},\dots,X_{8} sobre as linhas que transformam A passo a passo na matriz reduzida final mostrada na cadeia de reduções do enunciado.
Vou listar claramente cada transformação intermediária dada (peguei essas matrizes do enunciado) e determinar a operação elementar que a produz.]

Passo 2

Breve lembrete sobre operações elementares em linhas (aula rápida e prática):
  • Trocar duas linhas: escrevemos R_i\leftrightarrow R_j.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i\leftarrow k\,R_i.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i + k\,R_j.
Aqui cada X_k é uma dessas operações. Vou aplicar essa definição para identificar qual operação transforma cada matriz na próxima.

Passo 3

Primeira transformação:
A \xrightarrow{X_{1}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right].
Comparando com A, a nova primeira linha é a antiga segunda, e a segunda linha é a antiga primeira. Isso é uma troca de linhas entre R_1 e R_2.
Portanto
X_{1}: \quad R_{1}\leftrightarrow R_{2}.

Passo 4

Segunda transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ -1 & 1 & -5 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{2}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \end{array}\right].
A primeira e a segunda linhas permanecem; a terceira linha passou de (-1,1,-5,0) para (0,2,-6,-2). Observando, ( -1,1,-5,0) + (1,1,-1,-2) = (0,2,-6,-2). Ou seja, somou-se a R_1 à R_3. Logo
X_{2}: \quad R_{3}\leftarrow R_{3} + R_{1}.

Passo 5

Terceira transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{3}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & -9 & -9 \end{array}\right].
Aqui a terceira linha mudou de (0,2,-6,-2) para (0,0,-9,-9). Observe que subtraindo a segunda linha da terceira: (0,2,-6,-2) - (0,2,3,7) = (0,0,-9,-9). Então
X_{3}: \quad R_{3}\leftarrow R_{3} - R_{2}.

Passo 6

Quarta transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & -9 & -9 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{4}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
A terceira linha foi multiplicada por um escalar para tornar o pivô igual a 1. Especificamente, (-9,-9) multiplicado por -\tfrac{1}{9} (1,1). Assim
X_{4}: \quad R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{9}\,R_{3}.
Comentário didático: escolher o pivô igual a 1 facilita as eliminações acima/abaixo na etapa de escalonamento reduzido.

Passo 7

Quinta transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{5}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
A segunda linha passou de (0,2,3,7) para (0,2,0,4). Isso se obtém eliminando o componente da coluna z usando a terceira linha: (0,2,3,7) - 3\cdot(0,0,1,1) = (0,2,0,4). Portanto
X_{5}: \quad R_{2}\leftarrow R_{2} - 3\,R_{3}.

Passo 8

Sexta transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 2 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{6}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
A segunda linha foi dividida por 2 para que o pivô na coluna y seja 1: (0,2,0,4)\mapsto(0,1,0,2). Assim
X_{6}: \quad R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}\,R_{2}.

Passo 9

Sétima transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{7}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
A primeira linha mudou de (1,1,-1,-2) para (1,1,0,-1). Isso se obtém somando à R_1 a terceira linha: (1,1,-1,-2) + (0,0,1,1) = (1,1,0,-1). Então
X_{7}: \quad R_{1}\leftarrow R_{1} + R_{3}.

Passo 10

Oitava transformação:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{X_{8}} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
A primeira linha passa de (1,1,0,-1) para (1,0,0,-3). Isso se obtém eliminando o componente da coluna y usando a segunda linha: (1,1,0,-1) - (0,1,0,2) = (1,0,0,-3). Logo
X_{8}: \quad R_{1}\leftarrow R_{1} - R_{2}.

Resposta

\begin{array}{ll} X_{1}=R_{1}\leftrightarrow R_{2}, & X_{2}=R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1},\\[6pt] X_{3}=R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}, & X_{4}=R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{9}R_{3},\\[6pt] X_{5}=R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{3}, & X_{6}=R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2},\\[6pt] X_{7}=R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3}, & X_{8}=R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}. \end{array}]

Exercícios relacionados