Se
é
, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz
e afirma que
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é quadrada de ordem . -
é a matriz obtida negando todos os elementos de (cada linha de é a respectiva linha de multiplicada por ).
O que o enunciado pede: verificar se a igualdadeé verdadeira e justificar.
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade básica e muito útil do determinante: multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar
multiplica o determinante por
.
Explicando com calma: se uma matriz é obtida a partir de
multiplicando-se apenas uma linha de
por
, então
Explicando com calma: se uma matriz
Isto vem da linearidade do determinante em cada linha: o determinante é uma função que é linear em cada linha quando as demais ficam fixas, então o fator
sai multiplicando o determinante.
Passo 3
Agora, se multiplicarmos cada uma das
linhas de
por
, aplicamos a propriedade anterior repetidamente: cada linha gera um fator
, no total um fator
. Assim, para uma matriz
vale
Uma maneira muito direta de ver isso é escrever
como a matriz cujas linhas são
vezes as linhas de
, e então “fatorar”
de cada linha.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
(já que
é
), obtemos
Como
, segue que
Observação amigável: isso vale para qualquer matriz quadrada de ordem par; para ordens ímpares teríamos
.
Passo 5
Para fixar a intuição, um exemplo rápido: se
(a identidade
), então
e
, confirmando a igualdade no caso concreto.
Resposta
Verdadeiro: