Se A é 4 \times 4, então \operatorname{det}(-A)=\operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz 4\times4 e afirma que \det(-A)=\det(A).
Informações relevantes que temos:
  • A é quadrada de ordem 4.
  • -A é a matriz obtida negando todos os elementos de A (cada linha de -A é a respectiva linha de A multiplicada por -1).
    O que o enunciado pede: verificar se a igualdade \det(-A)=\det(A) é verdadeira e justificar.

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade básica e muito útil do determinante: multiplicar uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar c multiplica o determinante por c.
Explicando com calma: se uma matriz B é obtida a partir de A multiplicando-se apenas uma linha de A por c, então
\det(B)=c\det(A).
Isto vem da linearidade do determinante em cada linha: o determinante é uma função que é linear em cada linha quando as demais ficam fixas, então o fator c sai multiplicando o determinante.

Passo 3

Agora, se multiplicarmos cada uma das n linhas de A por c, aplicamos a propriedade anterior repetidamente: cada linha gera um fator c, no total um fator c^n. Assim, para uma matriz n\times n vale
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Uma maneira muito direta de ver isso é escrever cA como a matriz cujas linhas são c vezes as linhas de A, e então “fatorar” c de cada linha.

Passo 4

Aplicando a fórmula com c=-1 e n=4 (já que A é 4\times4), obtemos
\det(-A)=(-1)^{4}\det(A).
Como (-1)^{4}=1, segue que
\det(-A)=1\cdot\det(A)=\det(A).
Observação amigável: isso vale para qualquer matriz quadrada de ordem par; para ordens ímpares teríamos \det(-A)=-\det(A).

Passo 5

Para fixar a intuição, um exemplo rápido: se A=I_4 (a identidade 4\times4), então \det(I_4)=1 e \det(-I_4)=(-1)^4\det(I_4)=1, confirmando a igualdade no caso concreto.

Resposta

Verdadeiro: \det(-A)=\det(A)

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