(a) A matriz D=A B C existe? . Se sim, então d_{34}= .
Passo 1
O enunciado que você me passou é curto e só traz isto: perguntar se a matriz D=ABC existe e, em caso afirmativo, pedir o valor de d_{34}. Não foram fornecidas as matrizes A, B e C nem suas dimensões nem seus elementos.\n
O que o enunciado pede explicitamente:
(a) verificar se a matriz D=ABC existe;
se existir, fornecer o valor de d_{34} (o elemento da 3ª linha e 4ª coluna de D).\n
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma (as matrizes não foram dadas).
Passo 2
Primeiro passo didático: quando dizemos que o produto ABC existe dependemos apenas das dimensões (números de linhas e colunas) das matrizes, não dos valores numéricos dos elementos. Vou explicar a regra de dimensão com calma.\n
Regra de existência de produto de duas matrizes: para que o produto XY exista, se X tem dimensão m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) então Y precisa ter dimensão n\times p (ou seja, número de linhas igual ao número de colunas de X). O produto XY terá então dimensão m\times p.\n
Aplicando isso ao produto triplo ABC: para que AB exista e depois (AB)C exista, é suficiente (e usual) exigir que
A \text{ seja } m\times n,\qquad B \text{ seja } n\times p,\qquad C \text{ seja } p\times q.
Nesse caso AB existe e tem dimensão m\times p, e então (AB)C existe e tem dimensão m\times q. Assim D=ABC existe se e somente se as dimensões seguirem esse encaixe.\n
Observação prática (modo prova): para responder “existe?” você deve mostrar as dimensões e verificar os encaixes como acima. Se as dimensões não forem dadas no enunciado, não há como afirmar que o produto existe.
Passo 3
Agora a parte didática sobre como se calcula o elemento genérico de um produto de matrizes.\n
Se X é m\times n e Y é n\times p, o elemento da linha i e coluna j do produto XY é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} x_{i k}\, y_{k j}.
O que isto significa em palavras: para obter o elemento na interseção da linha i de X com a coluna j de Y, multiplica-se termo a termo os elementos da linha i de X pelos elementos correspondentes da coluna j de Y e soma-se tudo.\n
Exemplo muito simples para fixar: se X é 2\times 3 e Y é 3\times 2, então
(XY)_{12}=x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22}+x_{13}y_{32}.
Passo 4
Agora vamos aplicar isso ao produto triplo D=(AB)C. Suponha as dimensões conformes do passo anterior: A é m\times n, B é n\times p e C é p\times q. Então D terá dimensão m\times q.\n
Queremos o elemento d_{34}, isto é, a entrada da 3ª linha e 4ª coluna de D. Use a definição para o produto (AB)C:
Interpretação: para cada t percorre-se a 3ª linha de A (índice t) e cada k percorre-se colunas de B/linhas de C; a soma dupla combina todas essas multiplicações.\n
Alternativamente, trocando a ordem das somas (é a mesma coisa),
o que mostra que se primeiro calcularmos BC obtemos a coluna 4 de BC e depois fazemos o produto da linha 3 de A por essa coluna.
Passo 5
Como aplicar isso na prova (passo a passo prático, sem calculadora):
Verifique as dimensões: identifique m,n,p,q e confirme se as colunas de A igualam as linhas de B e as colunas de B igualam as linhas de C. Se algum desses encaixes falhar, responda que D não existe.\n
Se existir, para calcular d_{34} faça uma das duas rotas:
calcular AB parcialmente: só as entradas (AB)_{3k} para k=1,\dots,p, e depois multiplicar por c_{k4} e somar, usandod_{34}=\sum_{k=1}^{p} (AB)_{3k}\, c_{k4},com (AB)_{3k}=\sum_{t=1}^n a_{3t} b_{t k};
ou calcular BC parcialmente: só a coluna 4 de BC, isto é (BC)_{t4}=\sum_{k=1}^p b_{t k} c_{k4} para t=1,\dots,n, e depoisd_{34}=\sum_{t=1}^{n} a_{3t}\,(BC)_{t4}.
Faça as somas com cuidado, prestando atenção aos índices.\n
Para fixar: eis um exemplo numérico ilustrativo (não é do seu enunciado, é só pra mostrar como calcular). Suponha A é 3\times 2, B é 2\times 3, C é 3\times 4. Se
Isso mostra concretamente como multiplicar termo a termo e somar.
Resposta
Não é possível afirmar se D=ABC existe nem calcular numericamente d_{34} porque as matrizes A, B e C (suas dimensões e elementos) não foram fornecidas.
Em geral, D=ABC existe se A for m\times n, B for n\times p e C for p\times q; nessa situação