Para um sistema de equações lineares não homogêneo com 5 equações e 14 variáves, responda as três perguntas a seguir:
O sistema pode ter infinitas soluções?
O sistema pode ter infinitas soluções?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema linear não homogêneo com
equações e
variáveis. Para responder se ele pode ter infinitas soluções, vamos usar os conceitos de posto da matriz de coeficientes, condição de compatibilidade e variáveis livres.
Passo 2
Denotando por
a matriz
dos coeficientes e por
a matriz ampliada, o sistema é compatível se, e somente se,
Se for compatível, o número de variáveis livres é
Sempre que esse valor for positivo, o sistema terá infinitas soluções.
Passo 3
Aqui temos
e necessariamente
. Logo, em qualquer caso compatível,
Isso garante pelo menos 9 graus de liberdade, isto é, infinitas soluções.
Passo 4
Portanto, o sistema pode sim ter infinitas soluções — na verdade, sempre que for compatível haverá sobra de variáveis livres e, consequentemente, infinitas soluções. Se for incompatível, não terá nenhuma solução; solução única é impossível pois há sempre variáveis livres.
Resposta
Sim. Se o sistema for compatível, haverá pelo menos
variáveis livres, o que implica infinitas soluções.