é consistente com solução única, consistente com infinitas soluções ou inconsistente.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz de coeficientes para ver solução única; se o determinante for zero verificamos consistência pelo posto da matriz aumentada.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes e calculamos seu determinante.
A = \begin{pmatrix} 1 & a & b\\\\ 2 & 2a+1 & 2b+a\\\\ 1 & a+2 & 3a+b \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det A =1\cdot\bigl((2a+1)(3a+b)-(2b+a)(a+2)\bigr) -a\cdot\bigl(2(3a+b)-(2b+a)\bigr) +b\cdot\bigl(2(a+2)-(2a+1)\bigr).
Calculando cada parte encontra-se
\det A =5a^2+a-3b -5a^2 +3b = a.
Passo 3
Se \det A\neq0, ou seja se a\neq0, o sistema tem solução única (teorema de Cramer).
Passo 4
Agora consideramos a=0\). Nesse caso \(\det A=0\) e o sistema reduz-se a
\[\begin{cases} x + b\,z = 3,\\\\ 2x + y +2b\,z = b+6,\\\ x +2y + b\,z = 3b+3. \end{cases}
Da primeira equação x=3-bz\]. Substituindo na segunda:
\[2(3-bz)+y+2b\,z = b+6 \quad\Longrightarrow\quad 6 -2bz +y+2bz = b+6 \quad\Longrightarrow\quad y = b.\]
Substituindo \(x=3-bz e y=b na terceira:
Se a=0 e b\neq0 a última equação fica inconsistente (-b=0 impossível), logo o sistema é inconsistente.
Se a=0 e b=0 então todas as equações se satisfazem com x=3, y=0 e z livre, gerando infinitas soluções.
Resposta
Solução única: a\neq0.
Infinitas soluções: a=0 e b=0.
Inconsistente: a=0 e b\neq0.