Para um sistema que executa um movimento harmônico simples em torno de uma posição de equilíbrio estável, a força
é dada por
onde
é a energia potencial e (
) é o afastamento do equilíbrio. Mostre que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema que realiza um movimento harmônico simples (MHS) em torno de uma posição de equilíbrio estável. A força $ F $ que atua nesse sistema é dada por:
Aqui, $ V $ é a energia potencial, e $ (r - r_{0}) $ representa o afastamento da posição de equilíbrio $ r_{0} $. O que precisamos mostrar é que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento harmônico simples, energia potencial, e vibração de ponto zero em moléculas, que faz parte da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples (MHS), a força restauradora é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio, e essa relação é dada por:
Comparando com a força dada na questão:
Podemos identificar que a constante elástica $ k $ é igual a:
Passo 3
Agora, no contexto da mecânica quântica, a energia do ponto zero $ \frac{1}{2} h \nu_{0} $ está relacionada à frequência fundamental $ \nu_{0} $ da vibração harmônica da molécula. A frequência $ \nu_{0} $ para o MHS é dada por:
Onde:
- $ k $ é a constante elástica que encontramos,
- $ \mu $ é a massa reduzida das partículas envolvidas na vibração.
Passo 4
Substituindo a expressão de $ k $ que encontramos no Passo 2 na fórmula da frequência $ \nu_{0} $, temos:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ \frac{1}{2} h $, que é a energia do ponto zero:
Simplificando os termos:
Passo 6
Finalmente, podemos reescrever a expressão acima para deixar mais claro que estamos tirando a raiz quadrada da segunda derivada da energia potencial:
Resposta
Assim, mostramos que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por: