Para um sistema que executa um movimento harmônico simples em torno de uma posição de equilíbrio estável, a força F é dada por
F=-(d^2 Vd r^2)r0(r-r0)
onde V é a energia potencial e ( r-r0 ) é o afastamento do equilíbrio. Mostre que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por
12 h v0=h4 pi raizmu[(d^2 Vd r^2)r0]^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema que realiza um movimento harmônico simples (MHS) em torno de uma posição de equilíbrio estável. A força $ F $ que atua nesse sistema é dada por:
F
Aqui, $ V $ é a energia potencial, e $ (r - r_{0}) $ representa o afastamento da posição de equilíbrio $ r_{0} $. O que precisamos mostrar é que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por:
F = -(d^2 Vd r^2)r0 (r - r0)
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento harmônico simples, energia potencial, e vibração de ponto zero em moléculas, que faz parte da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples (MHS), a força restauradora é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio, e essa relação é dada por:
F = -k (r - r0)
Comparando com a força dada na questão:
F = -(d^2 Vd r^2)r0 (r - r0)
Podemos identificar que a constante elástica $ k $ é igual a:
k

Passo 3

Agora, no contexto da mecânica quântica, a energia do ponto zero $ \frac{1}{2} h \nu_{0} $ está relacionada à frequência fundamental $ \nu_{0} $ da vibração harmônica da molécula. A frequência $ \nu_{0} $ para o MHS é dada por:
12 h nu0
Onde:
  • $ k $ é a constante elástica que encontramos,
  • $ \mu $ é a massa reduzida das partículas envolvidas na vibração.

Passo 4

Substituindo a expressão de $ k $ que encontramos no Passo 2 na fórmula da frequência $ \nu_{0} $, temos:
k

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ \frac{1}{2} h $, que é a energia do ponto zero:
12 h
Simplificando os termos:
12 h nu0 = 12 h cdot 12 pi raiz(d^2 Vd r^2)r0mu

Passo 6

Finalmente, podemos reescrever a expressão acima para deixar mais claro que estamos tirando a raiz quadrada da segunda derivada da energia potencial:
12 h nu0 = h4 pi raizmu [(d^2 Vd r^2)r0]^1 / 2

Resposta

Assim, mostramos que a vibração de ponto zero de uma molécula é dada por:
12 h nu0 = h4 pi raizmu [(d^2 Vd r^2)r0]^1 / 2

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