Um sistema MIMO é representado pela matriz de transferência abaixo. Calcular o número de condição para a freqüência de zero. O que se pode dizer sobre o acoplamento do sistema? Qual o significado dos valores singulares calculados?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: temos um sistema MIMO com função de transferência
e a gente precisa calcular o número de condição em zero frequência (isto é, em
). Depois disso, dizer o que isso nos fala sobre o acoplamento do sistema e interpretar os valores singulares que aparecerem.
Conteúdo: teoria de valores singulares (SVD), número de condição , acoplamento em MIMO.
O que vamos usar:
Conteúdo: teoria de valores singulares (SVD), número de condição
O que vamos usar:
- Avaliar
. - Fazer a decomposição de valores singulares (ou calcular
e pela matriz ). - Formar
.
Passo 2
Primeiro, avalia
em
:
Chamemos essa matriz de
Passo 3
Para achar os valores singulares de
, fazemos:
- Calcular
. - Encontrar os autovalores
de . -
.
Vamos lá:
Passo 4
Encontrando os autovalores do numerador
:
- Traço =
. - Determinante =
.
Então
Como isso ainda está dividido por 64, os autovalores de
são
.
Os valores singulares são
Os valores singulares são
Passo 5
Vamos dar uma aproximada numérica rápida:
-
, -
, , -
, .
Dividindo por 8:
Passo 6
O número de condição é
Teoria diz que
seria totalmente desacoplado; quanto maior
, mais “difícil” (ou acoplado) o sistema é de inverter/resolver.
Passo 7
Interpretação dos singulares:
-
é o ganho máximo que o sistema pode ter ao longo de uma certa combinação de entradas e saídas. -
é o ganho mínimo em outra direção.
Então o sistema responde mais fortemente numa direção e bem fraco noutra, mostrando acoplamento moderado.
Resposta
Número de condição em
:
.
Isso indica um acoplamento moderado (não totalmente desacoplado, nem extremamente acoplado).
Os valores singulares ( e
) mostram o ganho máximo e mínimo que o sistema impõe em combinações específicas de entradas e saídas.
Isso indica um acoplamento moderado (não totalmente desacoplado, nem extremamente acoplado).
Os valores singulares (