Um sistema MIMO é representado pela matriz de transferência abaixo. Calcular o número de condição para a freqüência de zero. O que se pode dizer sobre o acoplamento do sistema? Qual o significado dos valores singulares calculados?
G(s)=1(s+2)(s+4)[cc s+1 & 3 -1 & s+5 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: temos um sistema MIMO com função de transferência
G(s)=1(s+2)(s+4) s+1 & 3 -1 & s+5
e a gente precisa calcular o número de condição em zero frequência (isto é, em ). Depois disso, dizer o que isso nos fala sobre o acoplamento do sistema e interpretar os valores singulares que aparecerem.
Conteúdo: teoria de valores singulares (SVD), número de condição , acoplamento em MIMO.
O que vamos usar:
  1. Avaliar .
  2. Fazer a decomposição de valores singulares (ou calcular e pela matriz ).
  3. Formar .

Passo 2

Primeiro, avalia G(0)=1(0+2)(0+4) 0+1 & 3 -1 & 0+5 =18 1 & 3 -1 & 5 em A=181&3-1&5 :
Chamemos essa matriz de

Passo 3

Para achar os valores singulares de A A^T =164 1&3 -1&5 1&-1 3&5 =164 1+9 & -1+15 -1+15 & 1+25 =164 10 & 14 14 & 26 , fazemos:
  1. Calcular .
  2. Encontrar os autovalores de .
  3. .
Vamos lá:

Passo 4

Encontrando os autovalores do numerador 10&1414&26:
  • Traço = lambda1,2 =36pmraiz36^2-4cdot642 =36pmraiz1296-2562 =36pmraiz10402 =18pm2raiz65 .
  • Determinante = sigmai=raiztildelambdai =raiz18pm2raiz658 .
    Então
Como isso ainda está dividido por 64, os autovalores de são
.
Os valores singulares são

Passo 5

Vamos dar uma aproximada numérica rápida:
  • sigmamaxapprox5.8438approx0.730, sigmaminapprox1.3708approx0.171 ,
  • , ,
  • , .
    Dividindo por 8:

Passo 6

O número de condição é
kappa =sigmamaxsigmamin approx0.7300.171 approx4.27
Teoria diz que seria totalmente desacoplado; quanto maior , mais “difícil” (ou acoplado) o sistema é de inverter/resolver.

Passo 7

Interpretação dos singulares:
  • é o ganho máximo que o sistema pode ter ao longo de uma certa combinação de entradas e saídas.
  • é o ganho mínimo em outra direção.
    Então o sistema responde mais fortemente numa direção e bem fraco noutra, mostrando acoplamento moderado.

Resposta

Número de condição em : .
Isso indica um acoplamento moderado (não totalmente desacoplado, nem extremamente acoplado).
Os valores singulares ( e ) mostram o ganho máximo e mínimo que o sistema impõe em combinações específicas de entradas e saídas.

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