Um sistema é formado por uma esfera de raio R, uniformemente carregada com densidade de carga positiva rho e uma carga puntiforme Q, posicionada no ponto P distante d do centro da esfera. Determine a energia potencial U de interação entre a esfera e a carga Q, em função da distância. Dica: Aplique a lei de Gauss para estimar o campo elétrico devido à esfera.
Valor: 2,5

Passo 1

Beleza, mãos à obra! O enunciado diz: temos uma esfera de raio , carregada uniformemente com densidade de carga , e uma carga pontual colocada a uma distância do centro da esfera. Queremos achar a energia potencial de interação entre a esfera e a carga em função de .
Conteúdo que vamos usar:
  • Lei de Gauss para achar o campo elétrico da esfera (dentro e fora).
  • Definição de energia potencial elétrica , onde é o potencial.
  • Relação entre campo e potencial: .
    A partir do Passo 2 a gente já começa a resolver na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o campo elétrico da esfera usando lei de Gauss.
  1. Fora da esfera ( E(r) = 14pivarepsilon0,Qrm esr^2 com Qrm es = rho;4pi R^33 ) a esfera age como se toda carga estivesse concentrada no centro: Qrm int(r)=rho,4pi r^33 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0,Qrm int(r)r^2 = rho3varepsilon0,r
  2. Dentro da esfera ( ), pela simetria e lei de Gauss só conta a carga até :

Passo 3

Agora, a energia potencial entre a carga V(d) = -integralinfty^d E(r),dr = -integralinfty^d 14pivarepsilon0,Qrm esr^2,dr = 14pivarepsilon0,Qrm esd e a esfera é U(d)=Q,V(d) = 14pivarepsilon0,Q,Qrm esd , tomando .
Para (fora da esfera) temos
Logo, para :

Passo 4

Para V(d) = V(R) ;-;integralR^d E(r),dr = 14pivarepsilon0,Qrm esR ;-;integralR^d rho3varepsilon0,r,dr (dentro da esfera) a gente precisa somar a variação de potencial de integralR^d r,dr = d^2 - R^22 Longrightarrow V(d) = 14pivarepsilon0,Qrm esR - rho3varepsilon0,d^2 - R^22 até U(d)=Q,V(d) = Q!g[14pivarepsilon0Qrm esR - rho6varepsilon0(d^2 - R^2)g] (já feita) mais de até dentro da esfera:
Calculando a integral interna:
Multiplicando por , obtemos

Passo 5

Só falta expressar tudo em termos de U(d)=14pivarepsilon0,Q,Qrm es2R^3,(3R^2-d^2) . Fazendo isso, dá para mostrar que, para ,

Resposta

U(d)= 14pivarepsilon0,Q,Qrm esd, & d>= R,[6pt] 14pivarepsilon0,Q,Qrm es2R^3,(3R^2-d^2), & d< R,
onde .

Exercícios relacionados