Um sistema é formado por uma esfera de raio , uniformemente carregada com densidade de carga positiva e uma carga puntiforme , posicionada no ponto distante do centro da esfera. Determine a energia potencial de interação entre a esfera e a carga , em função da distância. Dica: Aplique a lei de Gauss para estimar o campo elétrico devido à esfera.
Valor: 2,5
Passo 1
Beleza, mãos à obra! O enunciado diz: temos uma esfera de raio , carregada uniformemente com densidade de carga , e uma carga pontual colocada a uma distância do centro da esfera. Queremos achar a energia potencial de interação entre a esfera e a carga em função de .
Conteúdo que vamos usar:
Lei de Gauss para achar o campo elétrico da esfera (dentro e fora).
Definição de energia potencial elétrica , onde é o potencial.
Relação entre campo e potencial: .
A partir do Passo 2 a gente já começa a resolver na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o campo elétrico da esfera usando lei de Gauss.
Fora da esfera () a esfera age como se toda carga estivesse concentrada no centro:
Dentro da esfera (), pela simetria e lei de Gauss só conta a carga até :
Passo 3
Agora, a energia potencial entre a carga e a esfera é , tomando .
Para (fora da esfera) temos
Logo, para :
Passo 4
Para (dentro da esfera) a gente precisa somar a variação de potencial de até (já feita) mais de até dentro da esfera:
Calculando a integral interna:
Multiplicando por , obtemos
Passo 5
Só falta expressar tudo em termos de . Fazendo isso, dá para mostrar que, para ,