Estime a energia potencial U de interação entre um anel de raio R com uma densidade de carga lambda constante e positiva, e uma carga Q puntiforme também positiva sobre o eixo de simetria do anel, posicionada a uma distância h do seu centro.
Valor: 2,5

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho o que a questão quer e o que a gente precisa usar:
– Enunciado: tem um anel de raio com densidade de carga linear , positivo, e uma carga pontual , também positiva, colocada no eixo do anel a uma distância do centro. Preciso achar a energia potencial de interação entre os dois.
– Conteúdo: eletrostática, mais precisamente cálculo de potencial elétrico para distribuições contínuas e a relação .
– O que vamos usar:
  1. Lei de Coulomb / potencial elétrico de um elemento de carga.
  2. Princípio da superposição (integrar sobre o anel).
  3. A fórmula , que diz que a energia potencial de uma carga num ponto é ela vezes o potencial naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, lembra que o potencial elétrico V = 14pivarepsilon0,integral dqr,, num ponto devido a uma distribuição de cargas é dado por
r = raizR^2 + h^2,
onde é um pedacinho de carga e é a distância dele até o ponto em que eu quero o potencial.
No nosso caso, todo pedacinho de carga do anel está à mesma distância da carga , porque estamos no eixo do anel. Essa distância é

Passo 3

Então o potencial gerado por todo o anel no local da carga V = 14pivarepsilon0,integralanel dqraizR^2 + h^2 = 14pivarepsilon0,1raizR^2 + h^2integralaneldq fica
Qanel = lambda,(2pi R)
Mas V = 14pivarepsilon0,lambda,2pi RraizR^2 + h^2 = lambda R2varepsilon0,raizR^2 + h^2 é só a carga total do anel, que vale
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Passo 4

Agora a energia potencial de interação entre a carga U = Q,V e o anel é
Basta multiplicar a gente tem

Resposta

boxedU = Q,14pivarepsilon0,lambda,2pi RraizR^2 + h^2 ;=;lambda,Q,R2varepsilon0,raizR^2 + h^2,

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