Um sistema formado por três cargas puntiformes iguais, colocadas em repouso nos vértices de um triângulo eqüilátero, tem energia potencial eletrostática igual a U. Substitui-se uma das cargas por outra, na mesma posição, mas com o dobro do valor. A energia potencial eletrostática do novo sistema será igual a:?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de energia potencial eletrostática envolvendo três cargas iguais posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero. A questão pede para a gente substituir uma dessas cargas por outra com o dobro do valor e descobrir qual será a nova energia potencial do sistema. Vamos precisar entender como calcular a energia potencial entre cargas e aplicar isso no novo arranjo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial eletrostática ($ U $) entre duas cargas puntiformes é dada pela fórmula:
onde:
- $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $),
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.
No triângulo equilátero, cada lado tem a mesma distância $ r $.
Passo 3
No sistema inicial, temos três cargas iguais, digamos $ q $, nos vértices do triângulo. Para calcular a energia potencial total do sistema, precisamos somar a energia potencial de todas as combinações de pares de cargas:
Como todas as cargas são iguais e as distâncias são iguais, cada termo será:
Então, a energia potencial total inicial é:
Passo 4
Agora, substituímos uma das cargas por outra com o dobro do valor, ou seja, uma carga passa a ser $ 2q $. Vamos chamar as cargas do novo sistema de $ q $, $ q $ e $ 2q $.
Vamos recalcular a energia potencial total do novo sistema:
Onde:
- $ U_{AB} = k \frac{q \cdot q}{r} = k \frac{q^2}{r} $
- $ U_{A(2q)} = k \frac{q \cdot 2q}{r} = 2k \frac{q^2}{r} $
- $ U_{B(2q)} = k \frac{q \cdot 2q}{r} = 2k \frac{q^2}{r} $
Somando tudo:
Passo 5
Vamos relacionar a nova energia $ U’ $ com a energia inicial $ U $. Lembrando que $ U = 3k \frac{q^2}{r} $, podemos expressar $ U’ $ em termos de $ U $:
Resposta
A energia potencial eletrostática do novo sistema será igual a
.